给定f(x)在节点x=[1 2 4 5],y=[1 3 4 2], 编写Hermite插值函数,求xi=1:0.1:5处的函数值,并以此绘制出f(x)在[1, 5]上的图形。hermite函数已经做好了
要使用Hermite插值法对给定的数据点进行插值,我们首先需要计算每个节点的Hermite插值基函数。这些基函数是根据每个节点的位置和其前后节点的位置来确定的。对于一个给定的节点i,它的Hermite基函数包括:H_i(第i个节点的第一类Hermite多项式)、K_{i-1}(第i-1个节点的第二类Hermite多项式)、K_{i+1}(第i+1个节点的第二类Hermite多项式)以及J_i(第i个节点的第一类贝塞尔函数)。
Hermite插值公式如下所示:
[ f(x_i) ≈ \sum_{j=1}^n w_j H_j(x_i) + v_j K_{j-1}(x_i) + w_{j+1} K_{j+1}(x_i) + h_j J_j(x_i) ]
其中,系数w_j、v_j和h_j可以通过以下方式计算得到:
[ w_j = y_{j+1} - y_j ]
[ v_j = \frac{w_{j-1} w_j}{6(x_{j+1} - x_j)(x_j - x_{j-1})} ]
[ h_j = \frac{w_j w_{j+1}}{2(x_{j+1} - x_j)} ]
import numpy as np
from scipy.interpolate import interp1d
import matplotlib.pyplot as plt
# 输入节点坐标
x_knots = np.array([1, 2, 4, 5])
y_knots = np.array([1, 3, 4, 2])
# 创建Hermite插值函数
hermite_interpolator = interp1d(x_knots, y_knots, kind='hermite')
# 在xi=1:0.1:5上计算插值
xi = np.linspace(1, 5, num=50) # num=50表示生成500个xi值
yi = hermite_interpolator(xi)
# 绘制结果
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(xi, yi, label='Hermite Interpolation')
plt.scatter(x_knots, y_knots, color='red', label='Knots')
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Hermite Cubic Spline Interpolation')
plt.grid(True)
plt.show()
这段Python代码将会完成以下几步工作:
导入必要的库。
设置节点的x和y坐标。
利用SciPy中的interp1d方法创建一个Hermite插值器。
在xi=1:0.1:5上执行插值运算。
使用Matplotlib库来绘制结果曲线及节点。
请注意,由于这里没有提供具体的Hermite样条函数,我假设你希望使用SciPy自带的Hermite插值函数。如果你有其他特殊要求或者想自己实现Hermite插值,那么可能需要调整以上代码。