数学高一必修一函数问题

Question

第一题：已知f(x)是二次函数且f(0)=2，f(x+1)-f(x)=x-1 ，求f(x)
第二题：已知f(x+1）=x^2+2x，求f(x)，
第三题：证明f(x)=x^2+1/x^2在[1，+∞）上是增函数

不要只写答案！需要详细具体的步骤与讲解~回答得好的加分不是问题，先谢谢了！急需
因为是高一的题目，所以请尽量使用高一程度的计算方法，尽量详细易懂，谢谢了！

Answer 1

第一题：已知f(x)是二次函数且f(0)=2，f(x+1)-f(x)=x-1 ，求f(x)
【解】：设二次函数为f(x)=ax^2+bx+c

f(0)=0+0+c=2,===>c=2

f(x+1)-f(x)=a(x+1)^2+b(x+1)+c-[ax^2+bx+c]=2ax+a+b=2ax+(a+b)=x-1

2ax+(a+b)=x-1
2a=1,===>a=1/2
a+b=-1,===>b=-3/2

所以：二次函数为f(x)=(1/2)x^2-(3/2)x+2

第二题：已知f(x+1）=x^2+2x，求f(x)，
【解】：f(x+1)=x^2+2x=(x+1)^2-1
令x+1=t
f(t)=t^2-1

所以：f(x)=x^2-1

第三题：证明f(x)=x^2+1/x^2在[1，+∞）上是增函数
【解1】：设x^2=t
x^2+1/x^2=t+1/t
函数y=t+1/t是个高中常用的函数，其增区间为（-∞,-1）和（1，+∞）

【解2】：证明设1<=x1<x2

f(x1)=(x1)^2+[1/(x1)^2]

f(x2)=(x2)^2+[1/(x2)^2]

f（x1）-f（x2）=(x1)^2+[1/(x1)^2]-【(x2)^2+[1/(x2)^2]】
=(x1)^2-(x2)^2+【[1/(x1)^2]-[1/(x2)^2]】
=（x1+x2）（x1-x2）[1-1/(x1)^2(x2)^2]

因为(x1)^2-(x2)^2=（x1+x2）（x1-x2）<0
1-1/(x1)^2(x2)^2>0

所以f（x1）-f（x2）<0 ===> f（x1）<f（x2）
又因为x1<x2
所以：f(x)=x^2+1/x^2在[1，+∞）上是增函数

参考资料：如果想学的话！请务必看完，希望采纳。谢谢额

Answer 2

1.设f(x)=ax^2+bx+c,则由条件2得
a(2x+1)+b=x-1即2a=1,a+b=-1
因此a=1/2,b=-3/2
由条件1易知c=2
所以f(x)=1/2x^2-3/2x+2
2.令y=x+1,则x=y-1
代入得，f(y)=(y-1)^2+2(y-1)=y^2-1
3.令1<=a<b,则
f(a)-f(b)=(a+b)(a-b)-(a+b)(a-b)/(a^2*b^2)=(a+b)(a-b)[1-1/(a^2*b^2)]
由于a+b>0,a-b<0,1-1/(a^2*b^2)>0,
所以f(a)<f(b),证毕

Answer 3

1.设f(x)=aX^2+bX+c 当x=0,则f(1)-f(0)=0，所以f(1)=1. 当x=1.则f(1)=f(2)=1 。 由三点得a=1/2. b=-3/2. c=2.

2.拼凑法：f(x+1）=x^2+2x=x^2+2x+1-1=(x+1）^2-1 ，用x+1替代x. 则得
f(x）=x^2-1

3. 换元 ，再用导数 x^2=t, f(t)=t+1/t ,导数f~(t)=1-1/t^2， x在[1，+∞） x^2=t也在 [1，+∞） t^2在[1，+∞） 1/t^2小于1 1-1/t^2恒大于零，所以f(x)=x^2+1/x^2在[1，+∞）上是增函数

条件有限写的 请整理下 我读书去了