【预测题】1、已知，在平行四边形OABC中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．
（1）求直线AC的解析式；
（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似；
（3）若⊙P的半径为 ，⊙Q的半径为 ；当⊙P与对角线AC相切时，判断⊙Q与直线AC、BC的位置关系，并求出Q点坐标。
解：（1）
（2）①当0≤t≤2.5时，P在OA上，若∠OAQ=90°时，
故此时△OAC与△PAQ不可能相似．
当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ∽△OCA，
∵t>2.5，∴ 符合条件．
②若∠AQP=90°，则△APQ∽△∠OAC，
∵t>2.5，∴ 符合条件．
综上可知，当 时，△OAC与△APQ相似．
（3）⊙Q与直线AC、BC均相切，Q点坐标为（ ）。
【预测题】2、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
解：（1） ； ．（2）在 中， ，
．
设点 的坐标为 ，其中 ， 顶点 ，
∴设抛物线解析式为 ．
①如图①，当 时， ， ．
解得 （舍去）； ． ． ．解得 ．
抛物线的解析式为
②如图②，当 时， ， ．
解得 （舍去）．
③当 时， ，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是 ．
（3）存在点 ，使得四边形 的周长最小．
如图③，作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于
轴的对称点 ，连接 ，分别与 轴、 轴交于
点 ，则点 就是所求点．
， ．
． ．又 ， ，此时四边形 的周长最小值是 ．
【预测题】3、如图，在边长为2的等边△ABC中，AD⊥BC,点P为边AB 上一个动点，过P点作PF//AC交线段BD于点F,作PG⊥AB交AD于点E,交线段CD于点G,设BP=x.
（1）①试判断BG与2BP的大小关系,并说明理由;
②用x的代数式表示线段DG的长,并写出自变量x的取值范围;
（2）记△DEF的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值;
（3）以P、E、F为顶点的三角形与△EDG是否可能相似？如果能相似，请求出BP的长，如果不能，请说明理由。
解：（1）①在等边三角形ABC中，∠B＝60°，∵PG⊥AB，
∴∠BGP＝30°，∴BG＝2BP．
②∵PF／／AC，∴△PBF为等边三角形，∴BF＝PF＝PB＝x.
又∵BG＝2x，BD＝1，∴DG＝2x－1，∴0＜2x－1≤1，∴ .
（2）S= DE×DF=
=
当 时， .
（3）①如图1，若∠PFE＝Rt∠，则两三角形相似，
此时可得DF＝DG
即
解得： ．
②如图2，若∠PEF＝Rt∠，则两三角形相似，
此时可得DF＝ EF＝ BP，
即 ．解得： ．
【预测题】4、如图，二次函数 的图像经过点 ，
且与 轴交于点 .
（1）试求此二次函数的解析式；
（2）试证明： （其中 是原点）；
（3）若 是线段 上的一个动点（不与 、 重合），过 作 轴的平行线，分别交此二次函数图像及 轴于 、 两点，试问：是否存在这样的点 ，使 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）∵点 与 在二次函数图像上，
∴ ，解得 ，
∴二次函数解析式为 .
（2）过 作 轴于点 ，由（1）得 ，则在 中， ，又在 中， ，
∵ ，∴ .
（3）由 与 ，可得直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
∴ .∴ .
当 ，解得 （舍去），∴ .
当 ，解得 （舍去），∴ .
综上所述，存在满足条件的点，它们是 与 .
【预测题】5、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8厘米，点D在AC上，CD＝3厘米．点P、Q分别由A、C两点同时出发，点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米，行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动，速度为每秒1厘米．设运动的时间为x秒 ，△DCQ的面积为y1平方厘米，△PCQ的面积为y2平方厘米．
（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；
（2）如图2，y2的图象是抛物线的一部分，其顶点坐标是（4，12），求点P的速度及AC的长；
（3）在图2中，点G是x轴正半轴上一点（0＜OG＜6＝，过G作EF垂直于x轴，分别交y1、y2于点E、F．
①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；
②当0＜x＜6时，求线段EF长的最大值．
解：（1）∵ ，CD＝3，CQ＝x，∴ ．
图象如图所示．
（2）方法一： ，CP＝8k－xk，CQ＝x，
∴ ．∵抛物线顶点坐标是（4，12），
∴ ．解得 ．则点P的速度每秒 厘米，AC＝12厘米．
方法二：观察图象知，当x=4时，△PCQ面积为12．
此时PC＝AC－AP＝8k－4k＝4k，CQ＝4．∴由 ，得 ．
解得 ．则点P的速度每秒 厘米，AC＝12厘米．
方法三：设y2的图象所在抛物线的解析式是 ．
∵图象过（0，0），（4，12），（8，0），
∴ 解得 ∴ ． ①
∵ ，CP＝8k－xk，CQ＝x，∴ ． ②
比较①②得 .则点P的速度每秒 厘米，AC＝12厘米．
（3）①观察图象，知线段的长EF＝y2－y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．②由⑵得 .（方法二， ）
∵EF＝y2－y1，∴EF＝ ，
∵二次项系数小于0，∴在 范围，当 时， 最大．
【预测题】6、如图，在 中， ， 、 分别是边 、
上的两个动点（ 不与 、 重合），且保持 ，以 为边，在点 的异侧作正方形 .
（1）试求 的面积；
（2）当边 与 重合时，求正方形 的边长；
（3）设 ， 与正方形 重叠部分的面积为 ，试求 关于 的函数关系式，并写出定义域；
（4）当 是等腰三角形时，请直接写出 的长。
解：（1）过 作 于 ，∵ ，∴ .
则在 中， ，∴ .
（2）令此时正方形的边长为 ，则 ，解得 .
（3）当 时， .
当 时， .
（4） .
【预测题】7、如图已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线 上．
（1）求 、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′ 的交点为点C，试在 轴上找点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与 相似．
解：（1）根据题意，得： 解得
（2）四边形A A′B′B为菱形，则A A′=B′B= AB=5
∵
=
∴ 向右平移5个单位的抛物线解析式为
（3）设D（x，0）根据题意，得：AB=5，
∵∠A=∠B B′A
ⅰ) △ABC∽△B′CD时，∠ABC=∠B′CD ，∴BD=6－x， 由 得 解得x=3， ∴D（3，0）
ⅱ）△ABC∽△B′DC时，
∴ 解得 ∴
【预测题】8、如 图，已知直角梯形ABCD中，AD‖BC，A B⊥BC ，AD＝2，AB＝8，
CD＝10．
（1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度、沿C→D→A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由；
②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
解：
在Rt△DCH中，
(2)①
经计算，PQ不平分梯形ABCD的面积
②
， -
【预测题】9、如图，⊙O的半径为1，等腰直角三角形ABC的顶点B的坐标为（ ，0）， CAB=90°，AC=AB，顶点A在⊙O上运动．
（1）当点A在x轴上时，求点C的坐标；
（2）当点A运动到x轴的负半轴上时，试判断直线BC与⊙O位置关系，并说明理由；
（3）设点A的横坐标为x，△ABC的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；
（4）当直线AB与⊙O相切时，求AB所在直线对应的函数关系式．
解：（1）当点A的坐标为（1，0）时，AB=AC= －1，点C的坐标为（1， －1）；
当点A的坐标为（－1，0）时，AB=AC= ＋1，点C的坐标为（－1， ＋1）；
（2）直线BC与⊙O相切，过点O作OM⊥BC于点M，∴∠OBM＝∠BOM=45°,
∴OM=OB•sin45°=1，∴直线BC与⊙O相切
（3）过点A作AE⊥OB于点E
在Rt△OAE中，AE2=OA2－OE2=1－x2，
在Rt△BAE中，AB2=AE2+BE2=(1-x2) +（ -x）2=3-2 x
∴S= AB•AC= AB2= (3-2 x)=
其中－1≤x≤1，
当x=－1时，S的最大值为 ，
当x=1时，S的最小值为 ．
（4）①当点A位于第一象限时(如右图)：
连接OA，并过点A作AE⊥OB于点E
∵直线AB与⊙O相切，∴∠OAB=90°，
又∵∠CAB=90°，∴∠CAB+∠OAB=180°，
∴点O、A、C在同一条直线上，∴∠AOB=∠C=45°，
在Rt△OAE中，OE=AE= ．点A的坐标为（ ， ）
过A、B两点的直线为y=－x+ ．
②当点A位于第四象限时(如右图)
点A的坐标为（ ，－ ），过A、B两点的直线为y=x－ ．
【预测题】10、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的表达式；
（3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF‖AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．
解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）
又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）
（2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上，∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得
0＝36a－6b＋80＝4a＋2b＋8 解得 a＝－23b＝－83
∴所求抛物线的表达式为y＝－23x2－83x＋8
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m，∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF‖AC ∴△BEF∽△BAC，∴EFAC＝BEAB 即EF10＝8－m8，∴EF＝40－5m4
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝45
∴FGEF＝45 ∴FG＝45•40－5m4＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝12（8－m）×8－12（8－m）（8－m）
＝12（8－m）（8－8＋m）＝12（8－m）m＝－12m2＋4m
自变量m的取值范围是0＜m＜8
（4）存在．
理由：∵S＝－12m2＋4m＝－12（m－4）2＋8 且－12＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形．
【预测题】11、数学课上，张老师出示了问题1：
[来源:学科网ZXXK]
（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线——过点O作OM⊥BC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及 相应的推导过程；
（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正 方形，BC =1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图25-2），请直接写出条件改变后的函数解析式；
（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC =1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，AD‖B C， ， ， (其中 ， ， 为常量)”其余条件不变（如图25-3），请你写出条件再次改变后 关于 的函数解析式以及相应的推导过程．
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OD．
∵OM⊥BC，∴∠OMB=∠DCB= ，∴OM‖DC．
∴OM DC ，CM BC ．∵OM‖DC，∴ ，
即 ，解得 ．定义域为 ．
（2） （ ）．
（3） AD‖BC， ， ．
过点O作ON‖CD，交BC于点N，∴ ，∴ ．
∵ON‖CD， ，∴ ，∴ ．
∵ON‖CD，∴ ，即 ．
∴ 关于 的函数解析式为 （ ）．
【预测题】12、已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=2x2+4x+k-1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；
(3) 在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象。请你结合这个新的图像回答：当直线y= x+b (b<k)与此图象有两个公共点时，b的取值范围.
解：(1)由题意得，Δ＝16－8(k－1)≥0．∴k≤3．∵k为正整数，∴k＝1，2，3．
(2)当k＝1时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有一个根为零；
当k＝2时，方程2x2＋4x＋k－1＝0无整数根；
当k＝3时，方程2x2＋4x＋k－1＝0有两个非零的整数根．
综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去；k＝3符合题意．
当k＝3时，二次函数为y＝2x2＋4x＋2，把它的图象向下平移8个单位长度得到的图象的解析式为y＝2x2＋4x－6．
(3)设二次函数y＝2x2＋4x－6的图象与x轴交于A、B两点，则A(－3，0)，B(1，0)．
依题意翻折后的图象如图所示．
当直线 经过A点时，可得 ；
当直线 经过B点时，可得 ．
由图象可知，符合题意的b(b＜3)的取值范围为 ．
【预测题】13、如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,8)．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得点P到直线CD的距离等于点P到原点O的距离？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？
解：（1）设抛物线解析式为 ，把 代入得 ．
，顶点
（2）假设满足条件的点 存在，依题意设 ，
由 求得直线 的解析式为 ，
它与 轴的夹角为 ，设 的中垂线交 于 ，则 ．
则 ，点 到 的距离为 ．
又 ． ．
平方并整理得： ， ．
存在满足条件的点 ， 的坐标为 ．
（3）由上求得 ．
①若抛物线向上平移，可设解析式为 ．
当 时， ．
当 时， ． 或 ．
．
②若抛物线向下移，可设解析式为 ．
由 ，
有 ． ， ．
∴向上最多可平移72个单位长，向下最多可平移 个单位长．
【预测题】14、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．
（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；
（2）求t为何值时，△DPA的面积最大，最大为多少？
（3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值．
若不能，请说明理由；
（4）请直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．
解：（1）过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则△PED∽△COP，∴
， ，故D（t+1， ）
（2）S=
∴当t=2时，S最大，最大值为1
（3）∵∠CPD=900，∴∠DPA+∠CPO=900，∴∠DPA≠900，故有以下两种情况：
①当∠PDA=900时，由勾股定理得 ，又 ，
， ，
即 ，解得 ， （不合题意，舍去）
②当∠PAD=900时，点D在BA上，故AE=3－t，得t=3
综上，经过2秒或3秒时，△PAD是直角三角形；
（4） ；
【预测题】15、设抛物线 与x轴交于两个不同的点A（－1，0）、B（m，0），与y轴交于点C，且∠ACB＝90°。
（1）求m的值；
（2）求抛物线的解析式，并验证点D（1，－3 ）是否在抛物线上；
（3）已知过点A的直线 交抛物线于另一点E. 问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标. 若不存在，请说明理由。
解：（1）令x＝0，得y＝－2 ∴C（0，－2）
∵∠ACB＝90°，CO⊥AB ，∴△AOC ∽△COB ，∴OA•OB＝OC2
∴OB＝ ∴m＝4
（2）将A（－1，0），B（4，0）代入 ，解得
∴抛物线的解析式为 ……（2分）
当x=1时， =－3，∴点D（1，－3）在抛物线上。
（3）由 得 ，∴E（6，7）
过E作EH⊥x轴于H，则H（6，0），
∴ AH＝EH＝7 ∴∠EAH＝45°
作DF⊥x轴于F，则F（1，0）
∴BF＝DF＝3 ∴∠DBF＝45°
∴∠EAH=∠DBF=45°
∴∠DBH=135°，90°<∠EBA<135°
则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：
①若△DBP1∽△EAB，则 ,∴
∴ ，∴ ……（2分）
②若△ ∽△BAE，则 ,∴
∴ ∴ ……（2分）
综合①、②，得点P的坐标为：
【预测题】16、如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？
解：（1）四边形ABCE是菱形。
∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，∴EC‖AB，且EC＝AB，
∴四边形ABCE是平行四边形，又∵AB=BC，∴四边形ABCE是菱形 .
（2）①四边形PQED的面积不发生变化。
方法一：∵ABCE是菱形，∴AC⊥BE，OC=12AC=3，∵BC=5，∴BO=4，
过A作AH⊥BD于H，（如图1）.∵S△ABC＝12BC×AH＝12AC×BO，
即：12×5×AH＝12×6×4，∴AH＝245.
【或 ∵∠AHC＝∠BOC＝90°，∠BCA公用，∴△AHC∽△BOC，∴AH:BO＝AC:BC，
即：AH:4＝6:5，∴AH＝245.】
由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴BP＝QE，
∴S四边形PQED＝12（QE+PD）×QR＝12（BP+PD）×AH＝12BD×AH＝12×10×245＝24.
方法二: 由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO＝ S△QEO，
∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED‖AC，ED＝AC＝6，
又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，
∴S四边形PQED＝S△QEO＋S四边形POED＝S△PBO＋S四边形POED＝S△BED
＝12×BE×ED＝12×8×6＝24.
②方法一：如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，
即∠2＝∠1，∴OP=OC=3,过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，
∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=95，
∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×95＝75.
方法二：如图3，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，
∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，
∴QR:BO＝PR:OC，即：245:4＝PR:3，∴PR＝185，
过E作EF⊥BD于F，设PB＝x，则RF=QE=PB=x，
DF＝ED2-EF2 =62-(245)2 =185，
∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋185＋x＋185＝10，x＝75.
方法三: 如图4，若点P在BC上运动，使点R与C重合，
由菱形的对称性知，O为PQ的中点，∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线，
∴CO=PO，∴∠OPC＝∠OCP，此时，Rt△PQR∽Rt△CBO，
∴PR:CO＝PQ:BC，即PR:3＝6:5，∴PR＝185
∴PB＝BC-PR＝5－185＝75.
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