-- 作者： ice7733
-- 发布时间： 2004/12/08 02:30am
[color=red]未解决问题[/color]
[问]
1已知cos(X+π/4)=3/5,17π/12<x<7π/4,求sin2x+2sin²x/1—tanx的值.
2已知4sin²x－6sinx－cos²x+3cosx=0,求cos2x－sin2x/(1－cos2x)(1－tan2x)的值.
3求证：cos³a＋sin³a＋cos四次方a－sin四次方a=4√2乘以cos(π/4－a/2)乘以cos²a/2.
4、已知X∈(0,pai/2)
求证
sinx+tanx>2x
5.已知x>=y>=z>=15度,且x+y+z=90度
求cosx*siny*cosz的最大值和最小值
6.已知函数f(x)=2a(sinx)^2-2sqr(3)sinxcosx+b的定义域为[0,pi/2],值域为[-5,-4],求常数a,b.
7.△ABC中，∠CAB=900 ，∠C=300 , ，AB=1。现有点P、Q同时从A点出发，P沿AC，Q沿AB 、BC分别作匀速运动，结果同时到达C。
求：1）点Q与P运动的速度比
2设AP=x, S△APQ=y，当点Q在BC边上运动时求x与y 函数关系试
3）当点Q在BC上运动到什么时候位置时，S△ABQ + S△CPQ得值最小？（S△ABQ+ S△CPQ）
8.设函数f(x)的定义域是集合A={1，2，3，4，5，6}，值域是集合B={1，2，3}，且对任意的a，b∈A，当a≤b时，一定有f(a)≤f(b)，这样的函数f(x)有
A、11个 B、10个 C、9个 D、8个
9.若f(x)满足：对任意x,y，tf(x)+(1-t)f(y)>=f(tx+(1-t)y)成立，求证：在[0,1]上存在C，使得|f(x)-f(y)|<=C|x-y|成立。
10.
[color=red]已经解决问题[/color]
1.已知A、B、C都是正角
且(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=1
求证A+B+C>90度
[答]
不妨设A,B,C均为锐角，则cos(A-B)>cos(A+B),
1=(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=1-cos(A+B)cos(A-B)+(sinC)^2
<1-[cos(A+B)]^2+(sinC)^2
即cos(A+B)<cos(90-C)
于是
A+B>90-C
2.要使函数y＝x2－2ax＋1在〔1，2〕上存在反函数，则a的取值范围是
[答]
这个函数要在[1，2]上一一对应啦，只要对称轴x=a不在这里面就行了
即 a<=1或a>=2
3.已知sinα-sinβ=-1/3,cosα-cosβ=1/2,求cos(α-β)的值。
[答]
(sinα-sinβ)^2=sinα^2-2sinaαsinβ+sinβ^2=1/9 (1);
(cosα-cosβ)^2=cosα^2-2cosαcosβ+cosβ^2=1/4 (2),
(1)+(2)=2-2cos(α-β)=1/9+1/4.化简即可！
4.求值：sin派/7*sin2派/7*sin3派/7 （分别为2/7，3/7，免得引起歧义）
[答]
a=kπ/7(k=0,1,2,3,4,5,6)是方程tan(7a)=0的解，令x=tana,
因为tan(4a)=-tan(3a)，整理得
x^6-21*x^4+35*x^2-7=0,由伟达定理得知
tana*tan(2a)*tan(3a)*tan(4a)*tan(5a)*tan(6a)=-7,而tan(ka)=-tan[(7-k)a],k=0,1,2,3,4,5,6,於是知道
tan(π/7)*tan(2π/7)*tan(3π/7)=sqrt(7),又cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(3π/7)=1/8,从而sin(π/7)*sin(2π/7)*sin(3π/7)=sqrt(7)/8=sqrt(7/64)
5.已知asinx+bcosx=0,Asin2x+Bcos2x-C=0
求证2abA+(b^2-a^2)B+(a^2+b^2)C=0
[答]
由asinx+bcosx=0得sinx=(-b/a)cosx,代入Asin2x+Bcos2x-C=0得
2A(-b/a)(cosx)^2+B[2(cosx)^2-1]-c=0
即(cosx)^2=a(B+C)/(2aB-2bA)。令(B+C)/(2aB-2bA)=y则有(cosx)^2=ay
(sinx)^2=根号(1-ay)
两边平方asinx+bcosx=0得a^2(sinx)^2+b^2(cosx)^2+2absinxcosx=0
即(1-ay)a+yb^2=-2bsinxcosx
也就是a+(b^2-a^2)y=-2bsinxcosx,两边平方，得
a^2+2a(b^2-a^2)y+[b^4+a^4-2(ab)^2]y^2=4b^2(1-ay)ay=4ayb^2-4(ab)^2y^2
即a^2+2a(b^2+a^2)y+[b^4+a^4+2(ab)^2]y^2=0
[a+(a^2+b^2)y]^2=0得a+(a^2+b^2)y
把y=(B+C)/(2aB-2bA)代入上式，化简即得
6.求cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)之值
[答]
方法1：
原式=原式*2cos(π/14) / [2cos(π/14)]
={[cos(3π/14)+cos(π/14)]-[cos(5π/14)+cos(3π/14)]+[cos(7π/14)+cos(5π/14)]}/[2cos(π/14)]
=1/2
方法2：
设原式=u,因为cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)=2sin(π/7)*cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)/[2sin(π/7)]=-1/8,而
-1/8=cos(π/7)*cos(2π/7)*cos(4π/7)=cos(4π/7)*[cos(π/7)+cos(3π/7)]/2
=[cos(π/7)+cos(3π/7)+cos(5π/7)+cos(7π/7)]/4
=(u-1)/4
从而u=1/2
7.已知角a为锐角，求证0小于sina+cosa小于（圆周率的一半）
[答]
证明：已知a是锐角，则显然sina+cosa>0。
又sina+cosa=（根号2）sin(a+45度)=<（根号2）<（圆周率的一半）
8.设
0＜a＜1，f（logaX）=[a(X^2-1)]/[X(a^2-1)]
(1).求f(x);
(2).求证:f(x)是奇函数
(3).求证f(x)在(-∞，+∞)上是增函数。
[答]解：（1）.令t=logaX，则x=a^t
f(t)=[a*(a^2t-1)]/[a^t*(a^2-1)]
也就是
f(x)=[a*(a^2x-1)]/[a^x*(a^2-1)]
（2）.f(-x)={a*[a^(-2x)-1]}/[a^(-x)*(a^2-1)]
=a(1/a^2x-1)/[(1/a^x)*(a^2-1)]
=[a(1-a^2x)*a^x]/[a^2x*(a^2-1)]
=a(1-a^2x)/[(a^x)*(a^2-1)]
=-f(x)
所以f(x)是奇函数.
（3）设x1<x2,且x1,x2属于全体实数。
则f(x1)-f(x2)=a(a^2x1-1)/[(a^x1)*(a^2-1)]-a(a^2x2-1)/[(a^x2)*(a^2-1)]
=[a/(a^2-1)]*{(a^x1-a^x2)[a^(x1+x2)+1]}/[a^(x1+x2)]
由于0<a<1,所以有a^x1-a^x2>0,1/(a^2-1)<0,a^(x1+x2)>0,所以
f(x1)-f(x2)<0就是f(x1)<f(x2).
故命题得证。。。。。。。。。。。。。
9.(1)设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x-1)与y=f(1-x)的图象关于( )
A.直线y=0对称
B.直线x=0对称
C.直线y=1对称
D.直线x=1对称
(2)方程lgx+x*x=0的根属于区间（ ）
A.(0,1/2)
B.(1/2,1)
C.(1,2)
D.(1,+)
[答]第一题你令f(x)=x,然后带入看看就好。
第二个画图y=lgx,y=-x^2
显然交点在(0,1)间
考察x=1/2
y=lgx(x=1/2)=-lg2=-0.3
y=-x^2(x=1/2)=-1/4=-0.25
-x^2>lgx(x=1/2)
说明x=1/2时-x^2在lgx上方
所以根在(1/2,1)间
选择B
实际上，方程的根在(0.52,0.53)这个区间内
10.题目：求函数y=sqr(1+2cosX)+lg(2sinX+sqr(3))定义域
这是一个错例，它给出的错解是这样的：
cosX≥-1/2
sinX>-sqr(3)/2
得到：2kπ+4π/3≤X≤2kπ+8π/3(k∈Z)
2kπ-π/3<X<2kπ+4π/3(k∈Z)
它们的交集是φ，所以无定义
它的解释是：两个k可以取任意整数，而不是只能取相同的值
现在我的问题有两个：①怎么理解“两个k可以取任意整数，而不是只能取相同的值”？
②这道题怎么解？
[答]
既然都说了，两个k可以取不同的值，那不是说，就一定在数轴上没有公共部分。既然想分辨明白，把上边的k改成任意整数m，然后把这两个集合都画在数轴上，他们显然是有公共部分的。
而想有公共部分，一般的，上边的k和下边的k不一定是同一个整数。于是，我可以把下边的k取作k+1，然后变成
2kπ+π〈 x 〈 2kπ + 7/3π
11.求值域[img]
http://chat.pep.com.cn/lb5000/attachment.cgi?forum=38&topic=3054&postno=1&type=.gif[/img]（不用反函数法）
[答]化成两个分式，再用x-a/x的单调性
(4^x-1)/(2^(x+1))=0.5*[(2^x)-1/(2^x)]
12.对于x属于全体实数，f(x)满足F(5-x)=f(5+x).若函数f(x)在5到正无穷大（开区间）上是增函数，则f(x)在负无穷大到5（开区间）上的单调性如何？
[答]证明函数的图象关于x=5对称：对任意的实数x，f（x）=f（10-x）
设x1<x2<5
则10-x1>10-x2>5
由函数f(x)在5到正无穷大（开区间）上是增函数
f(10-x1)>f(10-x2)
即f(x1)>f(x2)
f(x)在负无穷到5单调递减
13.f(x)是定义在（-∞，3）上的减函数，不等式f（a2-sinx）≤f（a+1+cos2x）对一切x∈R均成立。求实数a的取值范围。
[答]
首先考虑定义域：a^2-sinx<3且a+1+cos2x<3当x∈R时恒成立，所以可解得-sqrt(2)<a<1
再考虑单调性：a^2-sinx>=a+1+cos2x,即a^2-a-1>=(sinx+cos2x)max=9/8,解得1-sqrt(38)/2<=a<=1+sqrt(38)/2
综上所述，a的取值范围为-sqrt(2)<a<1
14.已知X1，X2分别满足方程（10的X次方+X=3)和(lgX+X=3)
则X1+X2的值是_____
[答]设t=10的X次方,则x1=lgt,
第一个方程可化为t+lgt=3与第二个方程就完全一样了
所以t=x2,
就有x1+x2=lgt+t=3
15.① 对定义在 R 上的函数f(x)，若实数 x0 满足 f(x0) = x0 则 x0 称为函数 f(x)的
一个不动点。设二次函数f(x) = x^2 + mx - m + 2 若 f(x) 在[0，+∞)上有不动点
则 m 的取值范围 _________
② 已知函数 f(x)=ax^2 + bx +c(a< 0)满足 f(1+x)=f(1-x) 则三数 f(0) f(1) f(3)
的大小关系是 ( )
A) f(0)< f(1)< f(3) B) f(1)< f(3) < f(0)
C) f(3)< f(0)< f(1) D) f(0)< f(3) < f(1)
③ 设函数f(x)在 (-∞，+∞)内有定义，下列函数 ⒈ y = -f(x) ⒉ y =f(x^2)
⒊ y = -f(-x) ⒋ y=f(x)-f(-x) 中必定为奇函数的有 __________
④ 若函数f(x)=1+ [ m/(a^x -1) ] 是奇函数，则 m = ________
⑤ 设 a< b< c，则“函数 y = f(x)在区间 (a，b)与(b，c)都是单调递增” 是
“y=f(x)在区间(a，c)上单调递增” 的 ( )
A) 必要非充分条件 B) 充分非必要条件
C) 充要条件 D) 既非充分又非必要条件
[答]
1.m大于二倍根号二-1 或小于负二倍根号二-1
2.f(a+x)=f(a-x)===>直线x=a就是f(x)的对称轴,选C
3.选4,
4.根据-f(x)=f(-x)，通分，化简，可得M=2。
5.A
16.求cos1。＋cos2。＋cos3。＋·····cos179。＋ cos180。
(1。指1度)
[答]
cos(x)=-cos(兀-x)
例如cos1。+cos179。=0
17.已知f(x)的定义域为（0，+∞），且f(xy)=f(x)+f(y)则下列个式错误的是（）
A.f(1)=0
B.f(x^3)=3f(x)(x>0)
C.f(x)=0(x>0)
D. f(根号下x)=（1/2）f(x)(x>0)
[答]
f(1*1)=f(1)=f(1)+f(1)
所以:2f(1)=f(1),所以,f(1)=0
f(x*x*x)=f(x)+f(x*x)=f(x)+f(x)+f(x)=3f(x)
注意x>0,x*x*x>0.
f(x)=f[sqrt(x)]+f[sqrt(x)]
C是错的．
18.
[img]
http://chat.pep.com.cn/lb5000/attachment.cgi?forum=38&topic=2986&postno=1&type=.gif[/img]
[答]
②④是.
f(x)的值域为y≠1,g(x)的值域为y≠1,所以P=Q
[color=red]要讨论的问题[/color]
1.反函数的困惑
老师强调反函数的定义域必须从原函数的值域来求，不然出错
可是有时例题却直接从反函数来求其定义域，什么时候可以？
好困惑阿！
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-- 作者： 羊羊羊羊
-- 发布时间： 2004/12/08 02:59am
做的真规范,到位.我们需要继续努力建设.需要大家的力量.个人微不足道.
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-- 作者： gissing
-- 发布时间： 2004/12/08 05:22am
[quote][b]下面引用由[u]ice7733[/u]在 [i]2004/12/08 04:30pm[/i] 发表的内容：[/b]
未解决问题
[问]
1已知cos(X+π/4)=3/5,17π/12<x<7π/4,求sin2x+2sin²x/1—tanx的值.
2已知4sin²x－6sinx－cos²x+3cosx=0,求cos2x－sin2x/(1－cos2x)(1－tan2x)的值.
3求证：cos³a＋sin³a＋cos四次方a－sin四次方a=4√2乘以cos(π/4－a/2)乘以cos²a/2.
4、已知X∈(0,pai/2)
求证
sinx+tanx>2x
5.已知x>=y>=z>=15度,且x+y+z=90度
求cosx*siny*cosz的最大值和最小值
6.已知函数f(x)=2a(sinx)^2-2sqr(3)sinxcosx+b的定义域为[0,pi/2],值域为[-5,-4],求常数a,b.
7.△ABC中，∠CAB=900 ，∠C=300 , ，AB=1。现有点P、Q同时从A点出发，P沿AC，Q沿AB 、BC分别作匀速运动，结果同时到达C。
求：1）点Q与P运动的速度比
2设AP=x, S△APQ=y，当点Q在BC边上运动时求x与y 函数关系试
3）当点Q在BC上运动到什么时候位置时，S△ABQ + S△CPQ得值最小？（S△ABQ+ S△CPQ）
8.设函数f(x)的定义域是集合A={1，2，3，4，5，6}，值域是集合B={1，2，3}，且对任意的a，b∈A，当a≤b时，一定有f(a)≤f(b)，这样的函数f(x)有
A、11个 B、10个 C、9个 D、8个
9.若f(x)满足：对任意x,y，tf(x)+(1-t)f(y)>=f(tx+(1-t)y)成立，求证：在[0,1]上存在C，使得|f(x)-f(y)|<=C|x-y|成立。
[/quote]
[答]
1。cos(X+π/4)=3/5将其展开，求得sinXcosX=7/50根据给定的范围可以知道X在第三象限。
sin2x+2sin²x/1—tanx 我实在看不出这个式子是什么意思。。。cosX=-(跟号2)/10
sinX=-7*(跟号2)/10
2。根据题目意思有4*(sinx-3/4)^2-(cosx-3/2)^2=0所以2*sinx-3/2=正负(cosx-3/2)
但是取负的时候的到2*sinx+cosx=3(根据三角函数的有界性，舍去)所以cosx=2*sinx
这样应该可以求出结果了，我还是看不懂到底怎么乘除，所以没做出答案
希望以后用括号括好。。
3。(sina)^3+(cosa)^3=(sina+cosa)*(1-sina*cosa)
(cosa)^4-(sina)^4=(cosa)^2-(sina)^2=(sina+cosa)*(cosa-sina)
两式相加，所以原式左边等于=(sina+cosa)*(1-sina)*(1+cosa)
这样在朝右边化简就不难了把
休息议会先！
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-- 作者： gissing
-- 发布时间： 2004/12/08 10:08pm
4。对两边求导的到：cosx+1/cosx>2,利用重要不等式，然后取不到等号就可以了
5。将z=90度-x-y代入(注意60=<x+y=<75)，化简的到(1/2)*(sin(x+y)-sin(x-y))*sin(x+y),所以x=y=37.5是有最大值(2+跟号3)/8，x=60,y=15有最小值 (跟号3)/8
6。化简为a+b-a*cos2x-(跟号3)*sin2x=a+b-跟号(a^2+3)*sin(2x+y) (角y的绝对值小于15。因为在原式中取x=0,-5=<b=<-4,取x=pi/2时 -5=<a+b+<-4,比较两式值|x|=<1/2)。不知道是我算的有问题还是所给的数字有问题。我算的结果为空。
7。1）就等于距离比3：根号3
2）分两段求，吃完饭再说
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-- 作者： gissing
-- 发布时间： 2004/12/08 10:58pm
7。2)当0=<x=<跟号3/3时,y=(跟号3/2)*x^2
当跟号3/3<x=<跟号3时，y=(1/4)*x*(3-跟号3*x)
3）就是要求APQ的最大值（也就是2问中后一个式子的最大值）
8。隔板定理，将六个数之间的5个位置放两个隔板，将他们分成3部分
即C(2/5)=10(组合)
9。画个图可以分析出f(x)在任意区间[x1,x2]是凹函数，且小等于y=x
所以|f(x)-f(y)|<=|x-y|（理由还不太充分，希望大家补充）
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-- 作者： 玉龙
-- 发布时间： 2004/12/09 05:08am
什么时候开“拓展问题专集”？
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-- 作者： gissing
-- 发布时间： 2004/12/09 10:25pm
参考资料：http://chat.pep.com.cn/lb5000/printpage.cgi?forum=38&topic=7329