矩阵的秩与行列式有什么联系？

Question

如题所述

Answer 1

如果是实对称矩阵（可相似对角化矩阵）就可以，行列式就是特征值的乘积，秩就是非零特征值的个数。

特征值是指设A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx 成立，则称m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

特征值的性质：

特征值相同的特征向量相加还是特征向量，结合前面特征向量还可以任意伸缩，那么这特征值相同的两个不同方向（线性无关）特征向量可以张成一个平面，这个平面中的任何向量都是特征向量。也就是说一个特征值有几个线性无关的特征向量，他就可以有一个对应的几维特征空间。

矩阵的两种含义对应着秩的两种含义，当矩阵表示运动的时候秩代表运动到哪个维度。当矩阵表示空间的时候，秩表示这个空间的维度。