下列命题中：①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x2+1=0，x∈R}是空集；②函数y=logx-1|x|的定义域

Question

下列命题中：①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x2+1=0，x∈R}是空集；②函数y=logx-1|x|的定义域为（1，+∞）；③函数y＝lg1+x1?x是奇函数；④若方程（lgx）2-（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的两根为x1、x2，则x1x2=6正确命题的序号是______．

Answer 1

①集合{x|1+x＜4，x∈N}是有限集，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集，此是一个正确命题，集合{x|1+x＜4，x∈N}有三个元素，集合{x|x²+1=0，x∈R}是空集；
②函数y=log_x-1|x|的定义域为（1，+∞），由对数函数的定义知

|x|≠0 x?1＞0 x?1≠1

解得x＞1且x≠2，故此命题不正确；
③函数y＝lg

1+x

1?x

是奇函数，此是一个正确命题，令f(x)＝lg

1+x

1?x

，则f(?x)＝lg

1?x

1+x

＝lg

1+x

1?x

＝?f(x)，故函数是奇函数；
④若方程（lgx）²-（lg2+lg3）lgx+lg2lg3=0的两根为x₁、x₂，则x₁x₂=6，此命题正确，因为方程的两根为x₁、x₂，则必有lgx₁+lgx₂=lg2+lg3，即有x₁x₂=6
综上得正确命题的序号为①③④
故答案为①③④