内切圆性质：
（1）在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
（2）正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。
（3）常见辅助线：过圆心作垂直。
三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。
扩展资料：
对于一般的三角形，三角形面积公式如下：s=r（a+b+c）/2
在直角三角形s=r(a+b+c)/2的内切圆中，有这样两个简便公式如下：
1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径：r=(a+b-c)/2
（注：s是Rt△的面积，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）
2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径：r=ab/ (a+b+c)
内切圆，是指一个圆与一个三角形的三条边都有且仅有一个公共点的圆。
1. 知识点定义来源与讲解：
内切圆可以被视为一个与三角形相切的圆，在讨论内切圆的性质之前，我们先来了解一些基本的概念：
三角形：是由三个线段组成的图形，它有三个顶点和三个边。
内切圆的性质：
性质一：内切圆的圆心与三角形的三条角平分线交于一点。
证明：假设在三角形ABC内切圆O，连接圆心O与三角形的三个顶点A、B、C，设AO、BO和CO分别与三角形的三个角平分线交于点P、Q和R。我们需要证明P、Q和R三点重合，即P=Q=R。
我们可以观察到两个结论：一是AO与BO共度角A和角B的平分线，所以AO与BO相等；二是BO与CO共度角B和角C的平分线，所以BO与CO相等。由此可得AO=BO=CO，所以O是三角形ABC的三个角平分线交点。
由于内切圆的圆心O与三角形的三个顶点A、B、C都相切，所以OA=OB=OC，根据三角形的唯一性质可知三角形ABC是等边三角形，即三个角均为60°。因此，平分线AP、BQ、CR是等边三角形ABC的角平分线，所以P、Q、R三点重合，即P=Q=R。
性质二：内切圆的半径等于三角形三条边的连线与圆心的距离。
证明：设内切圆的半径为r，连接三角形的三个顶点与圆心的连线，设交点分别为D、E和F。我们需要证明三角形的三条边与圆心的连线长都等于r。
由于内切圆是与三角形的三条边相切，所以圆心到三条边的距离等于半径r。假设圆心到边BC的距离为d1，圆心到边AC的距离为d2，圆心到边AB的距离为d3。那么，由于内切圆与三角形的三条边都相切，我们可以得到以下三个等式：
d1 = r
d2 = r
d3 = r
所以，内切圆的半径等于三角形的三条边与圆心的连线的长度。
2. 知识点运用：
1.内切圆的性质可以应用于解决一些与三角形有关的几何问题。
例如，根据内切圆的半径与三角形三条边的连线与圆心的距离相等的性质，我们可以在已知三角形的边长的情况下，求解内切圆的半径。
2.内切圆的性质也可以用于证明一些几何定理。
例如，我们可以利用内切圆的性质证明三角形的角平分线交于一个点，从而得到三角形的内切圆的存在性和唯一性。
3. 知识点例题讲解：
例题一：在已知三角形ABC的边长为8、10和12的情况下，求其内切圆的半径。
解答：根据内切圆的性质，内切圆的半径等于三角形的三条边与圆心的连线的长度。所以，我们可以计算出三角形的半周长s=（8+10+12）/2 = 15。
然后，根据海伦公式，可以求得三角形的面积A=√（15×（15-8）×（15-10）×（15-12））= 30。
再根据面积公式A=rs，其中r为内切圆的半径，s为三角形的半周长，可以得到r=A/s=30/15=2。
所以，内切圆的半径为2。
例题二：已知三角形ABC的内切圆O的半径为4，求三角形的面积。
解答：根据内切圆的性质，内切圆的半径等于三角形的三条边与圆心的连线的长度。所以，我们可以在三角形ABC中连接半径为4的圆心O与三个顶点A、B、C，得到三个等边三角形AOB、BOC、COA。
因为AOB、BOC、COA是等边三角形，所以它们的边长相等，假设为a。然后，我们可以根据等边三角形的相关公式计算出a的值。根据勾股定理，可以得到a=8。
所以，三角形ABC的边长为8，而根据海伦公式，我们可以计算出三角形的半周长s=8×3/2=12。然后，根据面积公式A=rs，其中r为内切圆的半径，s为三角形的半周长，可以得到三角形的面积A=4×12=48。
总结：内切圆是几何学中重要的概念之一，在解决一些与三角形有关的问题时，内切圆的性质常常会发挥重要作用。因此，熟练掌握内切圆的性质，对于解决几何问题具有重要的意义。
本回答被网友采纳特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点唻。三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。
补充内容：对于一般的三角形，三角形面积公式如下： s=r（a+b+c）/2。在直角三角形s=r(a+b+c)/2的内切圆中，有这样两个简便公式如下：两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径：r=(a+b-c)/2（注：s是Rt△的面积，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径：r=ab/ (a+b+c)。扇形内切圆： 与扇形⌒AOB的圆弧⌒AB及两条半径OA,OB都相切的圆叫扇形的内切圆 。内切圆圆心O′在扇形的圆心角AOB的角平分线上，OO′=R-r(R是扇形半径,r是内切圆半径)，过O′作O′A⊥OA,垂足A,直角三角形OAO′中，∠O′OA=30°,O′A=r,OO′=R-r，∴r=(R-r)*sin30°,r=1/2(R-r),R=3r，内切圆面积=πr^2。扇形面积是原来圆面积的60/360=1/6，∴扇形面积=πR^2/6=π(3r)^2/6=3πr^2/2，∴扇形的内切圆面积与扇形面积的比为πr^2:(3πr^2/2)=2:3，直角三角形的内切圆的半径=二分之一×（直角边+另一直角边－斜边），内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。内切圆半径等于外接圆半径的2分之1，面积与原正方形比为π：4。本回答被网友采纳
概念
与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。
特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。
三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。
性质
在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。
常见辅助线：过圆心作垂直
相关公式
对于一般的三角形，内切圆半径公式如下：r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]
在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。
两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。
1、r=(a+b-c)/2（注：s是Rt△的面积，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）
2、r=ab/ (a+b+c)
扇形内切圆
与扇形⌒AOB的圆弧⌒AB及两条半径OA,OB都相切的圆叫扇形的内切圆。
内切圆圆心O′在扇形的圆心角AOB的角平分线上
OO′=R-r(R是扇形半径,r是内切圆半径)
过O′作O′A⊥OA,垂足A,直角三角形OAO′中
∠O′OA=30°,O′A=r,OO′=R-r
∴r=(R-r)*sin30°,r=1/2(R-r),R=3r
内切圆面积=πr^2,
扇形面积是原来圆面积的60/360=1/6
∴扇形面积=πR^2/6=π(3r)^2/6=3πr^2/2
∴形的内切圆面积与扇形面积的比为πr^2:(3πr^2/2)=2:3
直角三角形的内切圆的半径=二分之一×（直角边+另一直角边－斜边）
内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。
内切圆等于外切圆的2分之1
面积与原正方形比为π：4本回答被网友采纳
1、唯一性：每个多边形都可以有唯一的内切圆。这个内切圆与多边形的边界相切，并且没有其他圆可以同时满足这些条件。
2、切点：内切圆与多边形的每条边都有一个切点，切点是圆与边界相切的点。所有的切点都位于多边形的内部，并且在内切圆的半径上。
3、共切点：对于正多边形，内切圆的每条半径都与多边形的顶点相交，即内切圆与正多边形有相同数量的共切点。
4、内切圆半径与多边形的关系：内切圆的半径与多边形的性质有关。对于正多边形，内切圆的半径可以通过多边形的边长或其他已知尺寸进行计算。
5、面积关系：内切圆的面积是多边形面积的一部分。具体来说，内切圆的面积等于多边形的半周长（周长的一半，也称为半周长）乘以内切圆的半径。
这些是内切圆的一些常见性质。内切圆在几何学和工程应用中有广泛的应用，例如在多边形的外接圆、面积计算和形状分析中。
知识总结与提高：
1、内切圆是一个与给定多边形的边界相切且完全位于多边形内部的圆。
2、内切圆是唯一的，每个多边形都可以有唯一的内切圆。
3、内切圆与多边形的每条边界有一个切点，这些切点位于多边形内部且在内切圆的半径上。
4、对于正多边形，内切圆的每条半径与多边形的顶点相交，即内切圆与正多边形有相同数量的共切点。
5、内切圆的半径与多边形的性质有关，对于正多边形，内切圆的半径可以通过多边形的边长或其他已知尺寸计算。
6、内切圆的面积是多边形面积的一部分，等于多边形的半周长乘以内切圆的半径。本回答被网友采纳