数列通项公式的二阶数列

Question

如题所述

Answer 1

类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有an+2
、an+1、an的递推式为二阶数列，而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难度大了。为方便变形，可以先如此诠释二阶数列的简单形式：
an+2
=
A
*
an+1
+B
*
an
,
（
同样，A，B常系数）
基本思路类似于一阶，只不过，在复合时要注意观察待定系数和相应的项
原式复合：
令
原式变形后为这种形式
an+2
-
ψ
*
an+1
=
ω
(an+1
-
ψ
*
an)
将该式与原式对比
，可得
ψ
+
ω
=
A
且
-（ψ*ω）=
B
通过解这两式可得出
ψ与ω的值，
令bn
=
an+1
-
ψ*an
,
原式就变为bn+1
=
ω
*bn
等比数列，可求出bn
通项公式bn=
f
(n)
，
即得到
an+1
-
ψ*an
=
f
(n)
(其中f(n)
为关于n的函数),
而这个式子恰复合了一阶数列的定义，即只含有an+1和an
两个数列变项，从而实现了“降阶”，化“二阶”为“一阶”，进而求解。