(本题满分14分)．如图所示，四棱锥 P － ABCD 的底面积 ABCD 是边长为1的菱形，∠ BCD ＝60°， E 是 CD

Question

(本题满分14分)．如图所示，四棱锥 P － ABCD 的底面积 ABCD 是边长为1的菱形，∠ BCD ＝60°， E 是 CD 的中点， PA ⊥底面积 ABCD ， PA ＝ .(Ⅰ)证明：平面 PBE ⊥平面 PAB ；(Ⅱ) 过PC中点F作FH//平面PBD, FH交平面ABCD 于H点，判定H点位于平面ABCD的那个具体位置？（无须证明）（Ⅲ）求二面角 A － BE － P 的大小.

Answer 1

略

解:(Ⅰ)如图所示，连结 BD ，由 ABCD 是菱形且∠ BCD ＝60°知，Δ BCD 是等边三角形.因为 E 是 CD 的中点，所以 BE ⊥ CD ，    2分 又 AB ∥ CD ，所以 BE ⊥ AB .又因为 PA ⊥平面 ABCD ， BE 平面 ABCD ，所以 PA ⊥ BE .而 PA ∩ AB ＝ A ， 因此 BE ⊥平面 PAB .     又 BE 平面 PBE ，所以平面 PBE ⊥平面 PAB .  5分 (Ⅱ) 答1：H点在AC线段的4等分点上，且距离C点 ；9分 答2:H点与E点重合       9分 答3：取BC中点G，容易证明平面EFG//平面PBD,那么平面EFG内任意一直线都与平面PBD平行，就是H点在EG直线上都满足题意。 （Ⅲ）由(Ⅰ)知， BE ⊥平面 PAB ， PB 平面 PAB ，所以 PB ⊥ BE . 又 AB ⊥ BE ， 所以∠ PBA 是二面角 A － BE － P 的平面角.                12分 在RtΔ PAB 中，tan∠ PBA ＝ ，∠ PBA ＝60°.      13分 故二面角 A － BE － P 的大小是60°.                     14分