数学函数问题，高中

Question

已知定义域为R的函数f(x)在区间(4,+00)上为减函数，且函数f(x+4)为偶函数，则f(x)关于什么对称（ ）
请帮忙画出图像，略作解释

Answer 1

因为函数f(x+4)为偶函数

可设f(x+4)=-x^2

则f(x)=-（x-4）^2，为函数f(x+4)向右平移4个单位

符合条件函数f(x)在区间(4,+00)上为减函数

而f(x)=-（x-4）^2的对称轴为x=4

所以函数f(x)的图像关于x=4对称。

Answer 2

考虑f(x+4),记它为F(X)
因为它是偶函数所以F(-4)=F(4)
即f(-8)=f(0)
可以看出关于x=-4对称~

Answer 3

f(x)为偶函数f(x)=f(-x)一定关于X=0对称.同理
F(X)为偶函数一定关于X=0对称，这里X=x+4=0对称,即x=-4对称

Answer 4

其实你画下f(x)=(x-4)^2的图象,再画下f(x+4)=x^2的图象就知道了,这是个平移的问题,f(x+4)是f(x)图象向左平移了4个单位得到的,因为f(x+4)是偶函数,则它关于x轴对称,对称轴为x=0,将f(x+4)图象向右平移4个单位就得到f(x),对称轴也同时向右平移了4个单位,所以就是x=4.平移过程中应左加右减

Answer 5

考虑f(x+4),记它为F(X)
因为它是偶函数所以F(-4)=F(4)
x1+4=-4;x2+4=4
x1=-8;x2=0
x1,x2的中点就是对称点-4

另外用平移的观点也可以解释：
对称轴向右平移了4个单位后，它变成了偶函数，就是说原函数的对称轴应该是Y轴向左平移4个单位，即X=-4

Answer 6

函数f(x+4)为偶函数可设为f(x+4)=-x^2
将函数f(x+4)的图象向右平移4个单位得到
函数f(x)=-(x-4)^2 的图象
符合题意：在区间(4,+00)上为减函数
所以 函数f(x)的图像关于x=4对称