如图，抛物线y=x 2 +bx+c（b≤0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的 坐标为（-2，0）；

Question

如图，抛物线y=x 2 +bx+c（b≤0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点A的 坐标为（-2，0）；直线x=1与抛物线交于点E，与x轴交于点F，且45°≤∠FAE≤60度．（1）用b表示点E的坐标；（2）求实数b的取值范围；（3）请问△BCE的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x 2 +bx+c过A（-2，0）， ∴c=2b-4 ∵点E在抛物线上， ∴y=1+b+c=1+2b-4+b=3b-3， ∴点E的坐标为（1，3b-3）． （2）由（1）得EF=3-3b， ∵45°≤∠FAE≤60°，AF=3， tan60°= 3-3b 3 = 3 ， ∴b=1- 3 ， ∴1- 3 ≤b≤0． （3）△BCE的面积有最大值， ∵y=x 2 +bx+c的对称轴为x=- b 2 ，A（-2，0）， ∴点B的坐标为（2-b，0）， 由（1）得C（0，2b-4）， 而S △BCE =S 梯形OCEF +S △EFB -S △OCB = 1 2 （OC+EF）?OF+ 1 2 EF?FB- 1 2 OB?OC = 1 2 [（4-2b）+（3-3b）]×1+ 1 2 （3-3b）（1-b）- 1 2 （2-b）?（4-2b） = 1 2 （b 2 -3b+2）， ∵y= 1 2 （b 2 -3b+2）的对称轴是b= 3 2 ，1- 3 ≤b≤0 ∴当b=1- 3 时，S △BCE 取最大值， 其最大值为 1 2 [（1- 3 ） 2 -3（1- 3 ）+2]= 3+ 3 2 ．