大一高数求助

Question

如题所述

Answer 1

答：y = (x² - x + 1)e^x - e^(- x)

y'' - y = 4xe^x、y(0)=0,y'(0)=1
特征方程：
λ²-1=0 --> λ=±1
特征解y = C1e^(-x) + C2e^x
自由项为f(x)=4xe^(αx)，其中α=1为特征方程的单根
所以x^k*(Ax+B)e^x中选k=1
设特解为p = x(Ax+B)e^x
p'=[B+(2A+B)x+Ax²]e^x
p''=[(2A+2B)+(4A+B)x+Ax²]e^x
p'' - p = 4xe^x
[(2A+2B)+(4A+B)x+Ax²]e^x - x(Ax+B)e^x = 4xe^x
4Ax+(2A+2B)=4x
4A=4 --> A=1
2A+2B=0 --> B=-1
特解p = x(x-1)e^x
所以方程通解为
y = C1e^(-x)+C2e^x+x(x-1)e^x
代入y(0)=0和y'(0)=1
得C1=-1,C2=1
所以y=-e^(-x)+e^x+x(x-1)e^x
即y = (x² - x + 1)e^x - e^(- x)