3若连续型随机变量X在(2.8)上服从均匀分布,求方程 t^2+Xt+1=0 有实根的概率

Question

如题所述

Answer 1

根据题目给出的信息，连续型随机变量X在区间(2, 8)上服从均匀分布。要求方程t^2 + Xt + 1 = 0有实根，需要判断判别式Δ = X^2 - 4ac大于等于零。
对于给定的方程t^2 + Xt + 1 = 0，将其转化为一般形式，得到at^2 + bt + c = 0，其中a = 1，b = X，c = 1。
判别式Δ = b^2 - 4ac，代入数值得到Δ = X^2 - 4。
根据题意，X服从均匀分布，且X的取值范围为(2, 8)。因为Δ = X^2 - 4，所以当X在(2, 8)之间时，Δ的取值范围为(0, 60)。
要求方程有实根的概率，即Δ大于等于零的概率。根据均匀分布的性质，概率等于Δ在取值范围内的长度除以总长度。
因此，方程t^2 + Xt + 1 = 0有实根的概率为 P(Δ ≥ 0) = 长度(Δ在(0, 60)之间的区间) / 长度(X在(2, 8)之间的区间)。
计算得到长度(Δ在(0, 60)之间的区间)为 60 - 0 = 60，长度(X在(2, 8)之间的区间)为 8 - 2 = 6。
所以，方程t^2 + Xt + 1 = 0有实根的概率为 P(Δ ≥ 0) = 60 / 6 = 10。
因此，方程t^2 + Xt + 1 = 0有实根的概率为 10/900 = 1/90。