三角函数的推导过程主要基于直角三角形和单位圆的几何关系。以下为推导过程：
一、正弦函数的推导
单位圆的定义：在平面直角坐标系中，以原点为圆心，半径为1的圆称为单位圆。
角度与弧度的关系：在单位圆中，一个角度对应的弧长与半径之比称为该角度的弧度。弧度与角度之间的关系是：1弧度 = 180/π度。
正弦函数的定义：设角θ的终边与单位圆交于点P（x, y），则y = sinθ表示角θ的正弦值。
正弦函数的性质：正弦函数是一个周期函数，其周期为2π；正弦函数是一个奇函数，即sin(-θ) = -sinθ；正弦函数还是一个连续函数。
二、余弦函数的推导
余弦函数的定义：设角θ的终边与单位圆交于点P（x, y），则cosθ = x表示角θ的余弦值。
余弦函数的性质：余弦函数是一个周期函数，其周期为2π；余弦函数是一个偶函数，即cos(-θ) = cosθ；余弦函数还是一个连续函数。
三、正切函数的推导
正切函数的定义：设角θ的终边与单位圆交于点P（x, y），则tanθ = y/x表示角θ的正切值。
正切函数的性质：正切函数是一个周期函数，其周期为π；正切函数是一个奇函数，即tan(-θ) = -tanθ；正切函数还是一个连续函数。
四、三角函数的基本关系式
同角三角函数基本关系式：sin²θ + cos²θ = 1，tan²θ = sin²θ/cos²θ。
差角三角函数基本关系式：sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ，cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ，tan(α - β) = (tanα - tanβ)/(1 + tanαtanβ)。
和角三角函数基本关系式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ，cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ，tan(α + β) = (tanα + tanβ)/(1 - tanαtanβ)。
三角函数的应用
三角函数在许多领域都有广泛的应用，以下是对三角函数应用的分段解释：
一、几何学
在几何学中，三角函数被用来描述三角形的角度和边长之间的关系。例如，正弦函数可以用来计算一个角的对边长度，余弦函数可以用来计算一个角的邻边长度，而正切函数可以用来计算一个角的对边与邻边的比值。
此外，三角函数还可以用来解决一些几何问题，如求解三角形的面积、周长等。
二、物理学
在物理学中，三角函数被用来描述振动、波动和旋转等现象。例如，正弦波是一种常见的波动形式，它的振幅、频率和相位都可以通过三角函数来描述。此外，三角函数还可以用来描述简谐振动的运动轨迹和周期等。
三、工程学
在工程学中，三角函数被用来解决一些实际问题，如计算建筑物的高度、角度等。例如，正弦函数可以用来计算建筑物的高度，余弦函数可以用来计算建筑物的角度，而正切函数可以用来计算建筑物的斜率。
此外，三角函数还可以用来解决一些机械问题，如计算齿轮的传动比、螺旋桨的推力等。