1,2，2,4,3,8,4,16,5……数列的通项公式为如下： an=[1-(-1)^n]*(n+1)/4+{[1-(-1)^(n-1)]*2^(n/2)}/2

Question

请问这是怎么推来的？数学高手来！！！

Answer 1

奇数项是1，2，3，4，5，.....即f(n)=[1/2-(-1)^n /2]*(n+1)/2
偶数项是2，4，8，16，......即g(n)=[1/2-(-1)^(n+1) /2]*2^(n/2)
两者结合可写成：an=[1/2-(-1)^n /2]*(n+1)/2+[1/2-(-1)^(n+1) /2]*2^(n/2)

式子 [1/2-(-1)^n /2] 的作用相当于一个开关，当n为奇数项时，它的值为1，当n为偶数时，它的值为0，这样作为系数就可控制第一个数列的函数值间隔出现。
同样，[1/2-(-1)^(n+1) /2]相当于第二个数列的开关，为奇数，值为0，为偶数，值为1，作为系数就可控制第二数列的函数值间隔出现。（式子中的n+1可以换成n-1，效果一样）

以上式子最后化简就是题中的式子了。

Answer 2

归纳出来的
奇数项1,2,3,4,5
(n+1)/2
偶数项2,4,6,8,16
2^(n/2)
这两步完全靠经验了，不知道怎么解释，毕竟不是数学老师。
[1-(-1)^n]/2和[1-(-1)^(n-1)]/2是用来控制奇偶性的
奇数项时[1-(-1)^n]/2=1，[1-(-1)^(n-1)]/2=0，
偶数项时[1-(-1)^n]/2=0 ，[1-(-1)^(n-1)]/2-=1
an=[1-(-1)^n]/2 *奇数项通项公式+[1-(-1)^(n-1)]/2*偶数项通项公式