第1个回答 2021-01-03
分享解法如下，利用留数定理求解。设z=e^(iθ)。∴dθ=dz/(iz)，2cosθ=z+1/z【积分域为丨z丨=1，略写】。
∴1-2pcosθ+p²=1-p(z+1/z)+p²=(z-p)(1-zp)/z=(-1/p)(z-p)(z-1/p)/z。设f(z)=1/(z-p)(z-1/p)。
∴原式=[-1/(ip)]∮dz/[(z-p)(z-1/p)]。
而，当丨p丨>1时、在丨z丨=1域内，f(z)有一个一阶极点z1=1/p。由柯西积分定理，∴原式=(2πi)[-1/(ip)]Res[f(z),z1]。
又，Res[f(z),z1]=lim(z→z1)(z-z1)f(z)=p/(1-p²)。∴原式=2π/(p²-1)。
供参考。
∴1-2pcosθ+p²=1-p(z+1/z)+p²=(z-p)(1-zp)/z=(-1/p)(z-p)(z-1/p)/z。设f(z)=1/(z-p)(z-1/p)。
∴原式=[-1/(ip)]∮dz/[(z-p)(z-1/p)]。
而，当丨p丨>1时、在丨z丨=1域内，f(z)有一个一阶极点z1=1/p。由柯西积分定理，∴原式=(2πi)[-1/(ip)]Res[f(z),z1]。
又，Res[f(z),z1]=lim(z→z1)(z-z1)f(z)=p/(1-p²)。∴原式=2π/(p²-1)。
供参考。
第2个回答 2021-01-03
积分过程如下
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