区间的概念及表示法

Question

如题所述

Answer 1

区间的概念是数学中一类实数集合，包括所有x和y之间的数。表示法是指在实数线上，以视觉化的方式表示出一个区间的范围。亦指以区间形式给出（含有一个未知数x的）不等式的解集。

在数学里，区间通常是指这样的一类实数集合：如果x和y是两个在集合里的数，那么，任何x和y之间的数也属于该集合。例如，由符合0≤x≤1的实数所构成的集合，便是一个区间，它包含了0、1，还有0和1之间的全体实数。其他例子包括：实数集，负实数组成的集合等。

区间在积分理论中起着重要作用，因为它们作为最简单的实数集合，可以轻易地给它们定义长度、或者说测度。然后，测度的概念可以拓，引申出博雷尔测度，以及勒贝格测度。

区间也是区间算术的核心概念。区间算术是一种数值分析方法，用于计算舍去误差。区间的概念还可以推广到任何全序集T的子集S，使得若x和y均属于S，且x<z<y，则z亦属于S。例如整数区间（-1、2）即是指（-1、0、1、2）这个集合。

通用的区间记号中，圆括号表示“排除”，方括号表示“包括”。例如，区间（10，20）表示所有在10和20之间的实数，但不包括10或20。另一方面（10，20）表示所有在10和20之间的实数，以及10和20。而当我们任意指一个区间时，一般以大写字母I记之。

区间的性质：

上述的各种区间正是实数轴上的全体连通子集。由此可推得，一个区间在连续函数下的像也是一个区间，这是介值定理的另外一个表述。

区间也恰好涵盖了实数集的所有凸的子集。另，设X是 的一个子集，如果Y是包含X的最小闭区间（即如果Z是另一个包含X的闭区间，Y也包含于Z），便是Y的凸包。

任意一组区间的交集仍然是区间。两个区间的并集是区间，当且仅当它们的交集非空，又或者一个区间所不包含的端点，恰好是另一个区间包含的端点。