矩阵的秩与特征值之间有什么关系？由A的秩是2怎么得出那三个特征值的？怎么知道1是重根

Question

矩阵的秩与特征值之间有什么关系？由A的秩是2怎么得出那三个特征值的？怎么知道1是重根，而0不是，3阶矩阵必须有3个特征值，这说明0和1中必然有重根，怎么判断是哪一个？

Answer 1

在两个相似矩阵中，即设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B相似，记为A~B。

两个相似矩阵，两者的秩相等；在相似对角化，B为对角矩阵，而对角矩阵由矩阵的特征值组成，可以对角矩阵中是否有0的特征值，就可以推出原矩阵的秩为多少。

因为A为实对称矩阵，由其性质可以知道n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

而且可以知道A的特征值不是0就是1，又因为r（A）=2，所以可以知道齐次线性方程组Ax=0只有一个解，因此为0的特征值只可以解出一个特征向量；

如果0为特征值重根，最后不满足A与对角矩阵相似时，n阶方阵A有n个线性无关的特征向量的条件，推出A不可以相似对角化，与题给的A为实对称矩阵的条件矛盾。

由此可以知道特征值为1，是特征值的二重根。

扩展资料：

相似矩阵的定理与推论

定理1 

n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。

推论1

若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则A与对角矩阵相似。

对于n阶方阵A，若存在可逆矩阵P， 使其为对角阵，则称方阵A可对角化。

定理2 

n阶矩阵A可对角化的充要条件是对应于A的每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数，即设是矩阵A的重特征值。

定理3 

对任意一个n阶矩阵A，都存在n阶可逆矩阵T使得即任一n阶矩阵A都与n阶约当矩阵J相似。

参考资料来源：百度百科-相似矩阵

参考资料来源：百度百科-实对称矩阵

Answer 2

为讨论方便，设A为m阶方阵

证明：设方阵A的秩为n
因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
…………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
…………………
0 0 … 0 … 0
的矩阵，称为矩阵的标准形（注：这不是二次型的对称矩阵提到的标准形）
本题讨论的是方阵，就是可以通过一系列初等行变换的标准形为
主对角线前若干个是1；其余的是若干个0
以及除对角线以外的元素都是0。设A的标准形为B

因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与
“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。
所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用，
从同构的意义上说，他们是“无差别”的。
（由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别，所以
用形如“线性变换A”，表示线性变换
用形如“矩阵A”，表示线性变换的矩阵）

前面知识应该提到的内容：
一系列初等矩阵的乘积是非退化的，初等变换不改变矩阵的秩，初等变换是可逆的
所以矩阵B的秩（1的个数），就是矩阵A的秩，就是n

因为可逆且不改变秩，所以讨论矩阵B的情况，可以应用到矩阵A上。
我们随即看到，
如果线性变换B（或者说矩阵B）的秩是n，则线性变换B就是
对线性空间的前n个基做恒等映射（因为基向量组没有秩序，我们取前n个不会有原则性的问题）
后m-n个基做零变换，所构成的线性变换，线性变换B的特征多项式是(λ-1)^n

就可以快速找到n个线性无关的特征向量，这些特征向量直接取线性空间的前n个基就可以了。
我们得到的结论是，线性变换B秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。
因为一个特征向量只能属于一个特征值，
所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值（不管你的特征值是不是一样）
这里有n个1，都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）
因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。

下面我们解释重根为什么按重数计算，对矩阵B做初等行变换，
第i行乘以数域P上的数k≠1（当然，如果k=1纯属脱裤子放屁），
我们的特征多项式变为(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，
其它初等变换相应类推。

借用学物理的思维，一个变换莫测的关系中，寻找守恒量是什么？这个是有意义的。
而做这样的非退化的线性变换变换，虽然特征值会随之改变，
但是守恒量是一定能找到n个线性无关的特征向量，其个数就是矩阵B（线性变换B）的秩是不变的。
这样我们就发现了守恒量，至于属于不同特征向量的特征值是否相等，纯属巧合，无意义。
有多少个碰巧相等的都无所谓，有多少个相等（相当于特征多项式的几次方），就当然重复计算。

最后来一个问题的封闭，题目说的是方阵A
这个简单，将矩阵B做一系列初等行变换，虽然特征多项式改变了，线性变换改变了，
特征多项式也变了，但是我们发现的守恒量n，是不变的。追问

听不懂，能简单的说说吗

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Answer 3

我不清楚你的A^2=A怎么来的，有了A^2=A，外加特征方程即可解出特征值是0和1，由特征值组成的对角阵相似于A（也就是对角阵和A的秩相等），由于r(A)=2，如果重根为0，那么r不就是1了，和r(A)=2矛盾，故重根为1
矩阵的秩和特征值应该没有关系，比如这个题矩阵不是满秩，但是有重根，但是我举个例子，比如
1 0 0
1 2 2
1 1 3
这个矩阵就是满秩，但是也有重根本回答被网友采纳

Answer 4

说一下我自己推的过程。
首先，前提条件：矩阵可相似对角化。因为此时才会有特征向量个数等于特征值的个数。（重根按重复的个数算）
然后，由前面学的线性方程组：当r（A）＝r时，有n-r个线性无关解。
综上，推导如下：
(A-λE)§＝0相当于BX＝0。
即可以把特征向量§视为其解x。

所以特征值的个数λ（λ单根时，为1.h重根时，为h）＝特征向量的个数＝线性无关解的个数（n-r）
希望对你有帮助😊

Answer 5

我觉得这样回答最容易思考，如果A可以相似对角化那么A一定相似于对角矩阵也就是由特征值构成的矩阵，两者秩相等。如果0是重根的话，那么对角矩阵的秩就为1和题设矛盾所以1是重根