如何判断是否为子空间和怎么求基于维数

Question

判断F3的子集合V1=｛（a,-a,a）a属于F｝是否构成子空间。求R3的子空间｛（a,b,a+b） a,b属于R｝的基与维数。线性空间这部分看不懂。。。维数 基与坐标 怎么破。。。

Answer 1

第一个是。
子空间满足对 + 的封闭性和对 数乘λ 的封闭性
比如，A = (a,-a,a)属于V1, B = (b,-b,b)属于V1, a,b都属于F(数域)
那么A+B=(a+b,-a-b,a+b)也是属于V1吧（把a+b看成整体，也是属于F）
同时，λA = (λa, -λa, λa)也是属于V1（λa属于F）

子空间 (a,b,a+b)，你用(1,0,1)和(0,1,1)就可以线性表示所有的(a,b,a+b)=a(1,0,1)+b(0,1,1).
同时(1,0,1)和(0,1,1)不能相互线性表示，所以维数是2，而(1,0,1)和(0,1,1)就是两个基

你不要去纠结坐标这件事，子空间啊域啊维数啊基啊，你都按定义去想就能明白了，比如我上面写的东西，你可以完全不去理会什么空间不空间的问题，只是能否线性表示而已