边长中误差是多少的正方形面积最小？

Question

如题所述

Answer 1

在这个问题中，我们将使用线性近似来估计正方形面积的误差。
假设正方形的边长为a，边长的中误差为m。这意味着测量的边长可以表示为 a ± m。
正方形的面积为 A = a^2，我们要求在边长中误差为m的情况下，面积的精度。
首先，我们计算边长增量（delta_a）对应的面积增量（delta_A）：
delta_a = m（边长中误差）
delta_A = (2a * delta_a) + (delta_a)^2（面积的线性近似）
接下来，我们计算面积增量与面积的比率，得到面积的相对误差：
relative_error = delta_A / A
将上面的表达式代入：
relative_error = [(2a * m) + m^2] / a^2
现在，我们可以计算精度，即相对误差的绝对值：
precision = |relative_error|
最后，我们可以简化表达式，因为m是边长的中误差，一般来说m比a小很多，所以m^2项可以忽略，得到：
precision ≈ (2 * m) / a
因此，正方形面积的精度约为 (2 * m) / a。这意味着在边长中误差为m的情况下，面积的相对误差约为 (2 * m) / a。如果a较大，相对误差就会较小，如果a较小，相对误差就会较大。