因为1/[(1+z²)²]=(-1/2z)[1/(1+z²)]'
1/(1+z²)=1+(-z²)+(-z²)²+(-z²)³+……+(-z²)^n…… 当z²<1时收敛,即-1<z<1
∴[1/(1+z²)]'=-2z+4z³-6z^5+……+[(-1)^n]*2n*z^(2n-1) n=1,2,3……
∴(-1/2z)[1/(1+z²)]'=1-2z²+3z^4+……+[(-1)^(n+1)]*n*z^(2n-2) n=1,2,3……
即幂级数的展开是:1-2z²+3z^4+……+[(-1)^(n+1)]*n*z^(2n-2) n=1,2,3……
收敛半径是:r=1
扩展资料:
收敛半径r为非负的实数或无穷大的数,在 | z -a| < r时幂级数收敛,在 | z -a| > r时幂级数发散。当 z和 a足够接近时,幂级数就会收敛,反之则可能发散。
在 |z- a| = r的收敛圆上,幂级数的敛散性是不确定的:对某些 z可能收敛,对其它的则发散。如果幂级数对所有复数 z都收敛,那么说收敛半径是无穷大。两个幂级数相除的结果仍是幂级数。逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。