第(1)题
α3=α1+2α2,显然满足列向量线性相关
从而必然有一个特征值是0
由于有3个不同特征值,则其余两个特征值,必然都不为0
从而有2个非零特征值λ2,λ3,从而A与对角阵diag(0,λ2,λ3)相似
从而r(A)=r(diag(0,λ2,λ3))=2,即A的秩等于2。
第(2)题
β=(α1,α2,α3)(1,1,1)T,(1,1,1)为一个特解,A的秩为2,齐次方程Ax=0的解集有一个线性无关的向量
α1+2α2-α3=A(1,2,-1)=0(1,2,-1),则基础解系为(1,2,-1)
通解为k(1,2,-1)+(1,1,1),k为任意常数
扩展资料:
齐次线性方程组:常数项全部为零的线性方程组。如果m<n(行数小于列数,即未知数的数量大于所给方程组数),则齐次线性方程组有非零解,否则为全零解。
定理1
齐次线性方程组
有非零解的充要条件是r(A)<n。即系数矩阵A的秩小于未知量的个数。
推论
齐次线性方程组
仅有零解的充要条件是r(A)=n。
齐次线性方程组解的性质
定理2 若x是齐次线性方程组
的一个解,则kx也是它的解,其中k是任意常数。
定理3 若x1,x2是齐次线性方程组
的两个解,则x1+x2也是它的解。
定理4 对齐次线性方程组
存在基础解系,且基础解系所含向量的个数为n-r,即其解空间的维数为n-r。
参考资料:百度百科-齐次线性方程