详细过程如图如图rt所示……希望帮到你解决你心中的问题
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第1个回答 2020-02-26
1. 系参数方程表示。坐标平移 ， 令 X = x-1 = acost , Y = y-1 = bsint ,
则由对称性，其面积是 XOY 平面上椭圆第 一 象限部分的 4 倍。
S = 4 ∫<下0, 上a> YdX = 4∫<下π/2, 上0>bsint(-sint)dt
= -4ab∫<下π/2, 上0>(sint)^2dt = -2ab∫<下π/2, 上0>(1-cos2t)dt
= -2ab[t-(1/2)sin2t]<下π/2, 上0> = -2ab(-π/2) = πab.
2. 系极坐标表示。心形线 r = a(1+cost) 相对于 t 在(π，2π)
区间的曲线与极轴所围面积，是其下半，
由心形线 r = a(1+cost)的对称性， 与上半即 t 在(0，π)区间的相同
S = (1/2) ∫<下0, 上π>r^2dt = (a^2/2) ∫<下0, 上π>(1+cost)^2dt
= (a^2/2) ∫<下0, 上π>[1+2cost+(cost)^2]dt
= (a^2/2) ∫<下0, 上π>[3/2+2cost+(1/2)cos2t]dt
= (a^2/2) [3t/2+sint+(1/4)sin2t]<下0, 上π> = (3π/4)a^2
则由对称性，其面积是 XOY 平面上椭圆第 一 象限部分的 4 倍。
S = 4 ∫<下0, 上a> YdX = 4∫<下π/2, 上0>bsint(-sint)dt
= -4ab∫<下π/2, 上0>(sint)^2dt = -2ab∫<下π/2, 上0>(1-cos2t)dt
= -2ab[t-(1/2)sin2t]<下π/2, 上0> = -2ab(-π/2) = πab.
2. 系极坐标表示。心形线 r = a(1+cost) 相对于 t 在(π，2π)
区间的曲线与极轴所围面积，是其下半，
由心形线 r = a(1+cost)的对称性， 与上半即 t 在(0，π)区间的相同
S = (1/2) ∫<下0, 上π>r^2dt = (a^2/2) ∫<下0, 上π>(1+cost)^2dt
= (a^2/2) ∫<下0, 上π>[1+2cost+(cost)^2]dt
= (a^2/2) ∫<下0, 上π>[3/2+2cost+(1/2)cos2t]dt
= (a^2/2) [3t/2+sint+(1/4)sin2t]<下0, 上π> = (3π/4)a^2
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