解一元一次方程
课程解读
一、学习目标：
1. 理解去括号的理论依据，掌握去括号的方法；
2. 理解去分母的理论依据，掌握去分母的方法；
3. 会解较复杂的一元一次方程；
4. 会列一元一次方程解决实际问题。
二、重点、难点：
重点：掌握含括号、分母的一元一次方程的解法，熟悉解方程的一般步骤．
难点：去分母时的注意事项和一元一次方程的应用．
三、考点分析：
一元一次方程在中考中是必考内容，常与其他知识相结合。如果单独出题，一般考查较复杂的带分母、括号的一元一次方程的解法，或以应用题的形式出现，通常以选择题和填空题的形式进行考查。
知识梳理
1. 去括号
解方程的去括号和有理数运算中的去括号相似，主要依据的是乘法分配律。应注意，在去括号时，括号前边是负因数，去掉括号后所得各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。
2. 去分母
一个方程中如果含有分母，可以利用等式的性质2，在方程两边都乘所有分母的最小公倍数，将分母去掉。应注意：①分子如果是一个多项式，去掉分母后，要添上括号，防止出现符号错误；②整数项不要漏乘分母的最小公倍数。
典型例题
知识点一：一元一次方程的解法
例1. 解方程：（1）5x－（1－x）＝－13；
（2）2（y－6）＝3－（4y＋8）．
思路分析：
1）题意分析：本题考查用去括号法则和移项法则解方程。
2）解题思路：这两道题的解法是一样的，先去掉括号，再移项、合并同类项，最后把系数化为1，得到方程的解。
解答过程：（1）去括号，得5x－1＋x＝－13
移项，得5x＋x＝－13＋1
合并同类项，得6x＝－12
系数化为1，得x＝－2．
（2）去括号，得2y－12＝3－4y－8
移项，得2y＋4y＝3－8＋12
合并同类项，得6y＝7
思路分析：
1）题意分析：本题中每个小题都含有分母，第（2）题去分母时应注意不要漏乘整数项。
2）解题思路：解这三个方程都可以通过先去分母，然后去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1这五步完成。
去分母，整理得m－18＝2（9m－2）
去括号，得m－18＝18m－4
移项，得m－18m＝－4＋18
合并同类项，得－17m＝14
（3）方程两边都乘10，得2（y－1）－5（y－1）＝3
去括号，得2y－2－5y＋5＝3
合并同类项，得－3y＋3＝3
移项，得－3y＝3－3
合并同类项，得－3y＝0
系数化为1，得y＝0。
解题后的思考：①解含有分母的方程去掉分母后，分子上的多项式要用括号括起来；②一般情况下，解一元一次方程主要有五个步骤，但并不是一定要经过这五个步骤。
解这个方程，得y＝1。
当y＝1时，3x－2＝1，解得x＝1。
所以原方程的解是x＝1。
解题后的思考：上述解方程的方法可以称作换元法，这种方法可以把复杂的方程简单化，是一种非常好的数学方法．但应注意使用条件，并不是所有方程都能用这种方法。
思路分析：
1）题意分析：这个方程中有很多小数，应先把小数进行转化。
解题后的思考：当分母是小数时，一般利用分数的基本性质，将分子、分母都扩大适当的倍数，使分母变为整数，这时应注意与解方程时的去分母区分开。
小结：去括号解一元一次方程时，注意括号前面是负因数时要变号；去分母解一元一次方程时，注意不含分母的项也要乘所有分母的最小公倍数。
知识点二：一元一次方程的综合应用
例5. 如果单项式－5a4b3n－2与3a4是同类项，求n的值。
思路分析：根据同类项的含义，即相同字母的指数分别相同来列出方程解决问题。
解答过程：因为－5a4b3n－2与3a4是同类项，
解题后的思考：利用同类项含义来列方程、解综合题是一种常见题型。
方程两边同时乘4，得x－1＝±12，
移项，得x＝±12＋1，
合并同类项，解得x＝13或x＝－11，
所以原方程的解是x＝13或x＝－11。
（2）移项得3︱2－5a︱＝9，
方程两边同除以3，得︱2－5a︱＝3，
根据绝对值的意义，得2－5a＝±3，
所以2－5a＝3或2－5a＝－3，
解这两个方程得
所以原方程的解为
解题后的思考：通过本例可以看出，去掉绝对值符号时，根据绝对值的意义，绝对值符号里的代数式有两个互为相反数的值，因此，含有绝对值的方程的解通常有两个。
例7. 整理一批图书，如果由1个人单独做要花60小时。现先由一部分人用1小时整理，随后增加15人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作。假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？
思路分析：
例8. 现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底正好配成一个完整的盒子，问用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒底，可以做成一批完整的盒子？
思路分析：
1）题意分析：两个等量关系是：（1）做盒身的铁皮张数＋做盒底的铁皮张数＝190；（2）盒身个数的2倍＝盒底个数。
2）解题思路：第（1）个等量关系不能用来列方程，设做盒身的铁皮张数为x，那么做盒底的铁皮张数可以用含x的式子表示出来，是190－x．用第（2）个等量关系列方程。
解答过程：设用x张铁皮做盒身，则有（190－x）张铁皮做盒底。
根据题意，得2×8x＝22×（190－x）
解这个方程得x＝110
所以，190－x＝80（张）
答：用110张铁皮做盒身，80张铁皮做盒底可以做成一批完整的盒子。
解题后的思考：我们在生活中常常要遇到问题，这就要求我们运用数学的知识进行优化设计，方程就是一种很重要的工具。
小结：列方程解应用题的类型很多，例8和以往的类型有所不同，它属于配套问题．配套问题一般是指一件产品由两部分组成，这两部分之间有一个搭配问题，如例8中1个盒身需要搭配2个盒底，依据这两者之间的2倍关系列方程．再如一个螺丝由一个螺栓和一个螺母组成等。
提分技巧
一元一次方程是最简单的方程，它的解法也比较简单，解方程的过程是一个变形整理的过程，最终要把方程整理成x＝a的形式．但应注意的是，在解方程移项时要变号，去分母时整数项不要漏乘
课程解读
一、学习目标：
1. 理解去括号的理论依据，掌握去括号的方法；
2. 理解去分母的理论依据，掌握去分母的方法；
3. 会解较复杂的一元一次方程；
4. 会列一元一次方程解决实际问题。
二、重点、难点：
重点：掌握含括号、分母的一元一次方程的解法，熟悉解方程的一般步骤．
难点：去分母时的注意事项和一元一次方程的应用．
三、考点分析：
一元一次方程在中考中是必考内容，常与其他知识相结合。如果单独出题，一般考查较复杂的带分母、括号的一元一次方程的解法，或以应用题的形式出现，通常以选择题和填空题的形式进行考查。
知识梳理
1. 去括号
解方程的去括号和有理数运算中的去括号相似，主要依据的是乘法分配律。应注意，在去括号时，括号前边是负因数，去掉括号后所得各项的符号与原括号内相应各项的符号相反。
2. 去分母
一个方程中如果含有分母，可以利用等式的性质2，在方程两边都乘所有分母的最小公倍数，将分母去掉。应注意：①分子如果是一个多项式，去掉分母后，要添上括号，防止出现符号错误；②整数项不要漏乘分母的最小公倍数。
典型例题
知识点一：一元一次方程的解法
例1. 解方程：（1）5x－（1－x）＝－13；
（2）2（y－6）＝3－（4y＋8）．
思路分析：
1）题意分析：本题考查用去括号法则和移项法则解方程。
2）解题思路：这两道题的解法是一样的，先去掉括号，再移项、合并同类项，最后把系数化为1，得到方程的解。
解答过程：（1）去括号，得5x－1＋x＝－13
移项，得5x＋x＝－13＋1
合并同类项，得6x＝－12
系数化为1，得x＝－2．
（2）去括号，得2y－12＝3－4y－8
移项，得2y＋4y＝3－8＋12
合并同类项，得6y＝7
思路分析：
1）题意分析：本题中每个小题都含有分母，第（2）题去分母时应注意不要漏乘整数项。
2）解题思路：解这三个方程都可以通过先去分母，然后去括号、移项、合并同类项、未知数系数化为1这五步完成。
去分母，整理得m－18＝2（9m－2）
去括号，得m－18＝18m－4
移项，得m－18m＝－4＋18
合并同类项，得－17m＝14
（3）方程两边都乘10，得2（y－1）－5（y－1）＝3
去括号，得2y－2－5y＋5＝3
合并同类项，得－3y＋3＝3
移项，得－3y＝3－3
合并同类项，得－3y＝0
系数化为1，得y＝0。
解题后的思考：①解含有分母的方程去掉分母后，分子上的多项式要用括号括起来；②一般情况下，解一元一次方程主要有五个步骤，但并不是一定要经过这五个步骤。
解这个方程，得y＝1。
当y＝1时，3x－2＝1，解得x＝1。
所以原方程的解是x＝1。
解题后的思考：上述解方程的方法可以称作换元法，这种方法可以把复杂的方程简单化，是一种非常好的数学方法．但应注意使用条件，并不是所有方程都能用这种方法。
思路分析：
1）题意分析：这个方程中有很多小数，应先把小数进行转化。
解题后的思考：当分母是小数时，一般利用分数的基本性质，将分子、分母都扩大适当的倍数，使分母变为整数，这时应注意与解方程时的去分母区分开。
小结：去括号解一元一次方程时，注意括号前面是负因数时要变号；去分母解一元一次方程时，注意不含分母的项也要乘所有分母的最小公倍数。
知识点二：一元一次方程的综合应用
例5. 如果单项式－5a4b3n－2与3a4是同类项，求n的值。
思路分析：根据同类项的含义，即相同字母的指数分别相同来列出方程解决问题。
解答过程：因为－5a4b3n－2与3a4是同类项，
解题后的思考：利用同类项含义来列方程、解综合题是一种常见题型。
方程两边同时乘4，得x－1＝±12，
移项，得x＝±12＋1，
合并同类项，解得x＝13或x＝－11，
所以原方程的解是x＝13或x＝－11。
（2）移项得3︱2－5a︱＝9，
方程两边同除以3，得︱2－5a︱＝3，
根据绝对值的意义，得2－5a＝±3，
所以2－5a＝3或2－5a＝－3，
解这两个方程得
所以原方程的解为
解题后的思考：通过本例可以看出，去掉绝对值符号时，根据绝对值的意义，绝对值符号里的代数式有两个互为相反数的值，因此，含有绝对值的方程的解通常有两个。
例7. 整理一批图书，如果由1个人单独做要花60小时。现先由一部分人用1小时整理，随后增加15人和他们一起又做了2小时，恰好完成整理工作。假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？
思路分析：
例8. 现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底正好配成一个完整的盒子，问用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒底，可以做成一批完整的盒子？
思路分析：
1）题意分析：两个等量关系是：（1）做盒身的铁皮张数＋做盒底的铁皮张数＝190；（2）盒身个数的2倍＝盒底个数。
2）解题思路：第（1）个等量关系不能用来列方程，设做盒身的铁皮张数为x，那么做盒底的铁皮张数可以用含x的式子表示出来，是190－x．用第（2）个等量关系列方程。
解答过程：设用x张铁皮做盒身，则有（190－x）张铁皮做盒底。
根据题意，得2×8x＝22×（190－x）
解这个方程得x＝110
所以，190－x＝80（张）
答：用110张铁皮做盒身，80张铁皮做盒底可以做成一批完整的盒子。
解题后的思考：我们在生活中常常要遇到问题，这就要求我们运用数学的知识进行优化设计，方程就是一种很重要的工具。
小结：列方程解应用题的类型很多，例8和以往的类型有所不同，它属于配套问题．配套问题一般是指一件产品由两部分组成，这两部分之间有一个搭配问题，如例8中1个盒身需要搭配2个盒底，依据这两者之间的2倍关系列方程．再如一个螺丝由一个螺栓和一个螺母组成等。
提分技巧
一元一次方程是最简单的方程，它的解法也比较简单，解方程的过程是一个变形整理的过程，最终要把方程整理成x＝a的形式．但应注意的是，在解方程移项时要变号，去分母时整数项不要漏乘
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