求证：1～10 的自然数按任意顺序排成一个圈，必定找到三个相邻的数，它们的和大于等于18。

如题所述

推荐答案 2019-09-13

LZ您好
设10个数分别为a1,a2,a3,...a9,a10

则排列成圈，就相当于证明
a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5...a8+a9+a1;a9+a1+a2
一共10组数，和全部大于18
显然，由于a1≠a4
所以a1+a2+a3≠a2+a3+a4，其他同理，也即是说任何相邻数都不等。
而我们可以轻易证明（a1+a2+a3+...+a10）X3=165
所以这10组数的平均数是16.5（也即至少存在一组数，大等于17）
今由于我们要证明的是和大于18，
那么反过来就是假设说这17组数，全部不大于18
那么也就是其中有5组数=16,5组数=17
【不可能有6组数=17，否则将出现一组相邻的数=17】
然而我们接下来就该发现
a1+a2+a3=17
a2+a3+a4=16
a4+a5+a6=16
a5+a6+a7=17
所以a1=a4+1
a7=a4+1
则a1=a7
这与a1,a2...a10都是不同的自然数矛盾
综上所述，这17组数，没有任何一个大等于18是不可能的！
也即是至少有一组数大等于18

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其他回答

第1个回答 2019-09-13

从1~36中，最多可以取出1个数，使得这些数中没有两数的差是5的倍数.
任意6个不同的自然数中，至少有两个数的差是5的倍数，因为我们把数分成4组看看：
1 6 11 16
2 7 12 17
3 8 13 18
4 9 15 20看，如果有四个数是任意其中的几个，那还剩下一个肯定和其它几个的差有5的倍数，事实证明了一切！
把1，2，3，…10按任意顺序排成一圈，在这一圈数中一定有相邻的三个数大于5（包括5，不信你试试），所以在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17！本回答被网友采纳

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