在三角形ABC中，设向量BC=a，向量CA=b，向量AB=c

Question

（1）若三角形为正三角形，求证a*b=b*c=c*a，（2）若a*b=b*c=c*a成立，三角形ABC是否为正三角形？

Answer 1

1
令正三角形的边长为k
则：a·b=|BC|*|CA|*cos(π-C)
=-k^2cos(π/3)
=-k^2/2
b·c=|CA|*|AB|*cos(π-A)
=-k^2cos(π/3)
=-k^2/2
c·a=|AB|*|BC|*cos(π-B)
=-k^2cos(π/3)
=-k^2/2
故：a·b=b·c=c·a
2
a·b=b·c
即：|BC|*|CA|*cos(π-C)=|CA|*|AB|*cos(π-A)
即：|BC|cosC=|AB|cosA
即：sinAcosC=sinCcosA
即：sin(A-C)=0
A-C∈(-π,π)，故：A-C=0
即：A=C
同理，由b·c=c·a，可得：A=B
由c·a=a·b，可得：B=C
即：A=B=C
故三角形ABC是正三角形