三角形内切圆公式：r=\frac{2A}{a+b+c}，其中r为内切圆的半径，A为三角形的面积，a,b,c分别为三角形的三边长。
1.公式推导
内切圆是指恰好与三角形的三条边相切的圆；
设内切圆半径为r，则如图所示，根据三角形的性质可得r=h_a+h_b+h_c；
再根据海涅公式A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}，其中s=\frac{a+b+c}{2}$，带入上式可得到三角形内切圆公式。
2.内切圆中心坐标
内切圆圆心即为三角形内心I，为三条角平分线的交点；
若已知三个顶点坐标，则可以求出三条边的长度、半周长s，从而利用内切圆公式求出内切圆半径r；
由于内心坐标与三条边的交点不易计算，在实际计算过程中通常采用基于向量的方法求解。
3.应用场景
在Geometra Sketchpad等几何绘图软件中，常用该公式画三角形内切圆；
在实际工程中，该公式可用于建筑设计、航空航天等领域计算三角形内切圆的半径，以保证设计符合规范。
4.拓展知识：外接圆公式
与内切圆类似，可以推导出三角形的外接圆公式：R=\frac{abc}{4A}，其中R为外接圆的半径；
在实际计算和工程设计中，经常会用到外接圆公式，例如在架设电力线路、造船等过程中需要根据设定角度和角度值确定铁塔或船体的尺寸。
5.内切圆的性质
内切圆是三角形内接圆中半径最大的一个；
内切圆截三角形的三边所得线段都相等；
内切圆的圆心到三角形各顶点的距离相等；
由内切圆可构造出外接圆切线，如图所示。
6.重心、垂心和外心与内心
对于任意三角形，都存在垂心、重心、外心和内心四个特殊点；
垂心为三条高线的交点，重心为三条中线的交点，外心为三条平分线的交点，内心为三角形内切圆的圆心；
在计算实际问题时，常需要用到这些特殊点的坐标和性质，例如求解三点共线问题、地震的震中确定等。
综上所述，三角形内切圆公式是计算三角形内切圆半径的基本公式，可以应用于多个领域中。同时，掌握三角形的其它特殊点和性质，可以帮助我们更好地解决实际问题。