第1个回答 2008-04-19
1、在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上.
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BE的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由.
[解析] （1）由已知条件得：
梯形周长为12，高4，面积为28。
过点F作FG⊥BC于G
过点A作AK⊥BC于K
则可得：FG=12－x5 ×4
∴S△BEF=12 BE•FG=－25 x2+245 x（7≤x≤10）
（2）存在
由（1）得：－25 x2+245 x=14
得x1=7，x2=5（不合舍去）
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7
（3）不存在
假设存在，显然是：S△BEF∶SAFECD=1∶2，(BE+BF)∶(AF+AD+DC)=1∶2
则有－25 x2+165 x=283
整理得：3x2－24x+70=0
△=576－840<0
∴不存在这样的实数x。
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积。
同时分成1∶2的两部分
2、已知抛物线 与y轴的交点为C，顶点为M，直线CM的解析式 并且线段CM的长为
（1） 求抛物线的解析式。
（2） 设抛物线与x轴有两个交点A（X1 ，0）、B（X2 ，0），且点A在B的左侧，求线段AB的长。
（3） 若以AB为直径作⊙N，请你判断直线CM与⊙N的位置关系，并说明理由。
[解析]（1）解法一：由已知，直线CM：y=－x＋2与y轴交于点C（0,2）抛物线 过点C（0,2），所以c=2，抛物线 的顶点M 在直线CM上，所以
若b＝0，点C、M重合，不合题意，舍去，所以b＝－2。即M
过M点作y轴的垂线，垂足为Q，在
所以， ，解得， 。
∴所求抛物线为： 或 以下同下。
（1）解法二：由题意得C(0 , 2),设点M的坐标为M（x ，y）
∵点M在直线 上，∴
由勾股定理得 ，∵
∴ = ，即
解方程组 得
∴M（-2，4） 或 M‘ （2，0）
当M（-2，4）时，设抛物线解析式为 ，∵抛物线过（0，2）点，
∴ ，∴
当M‘（2，0）时，设抛物线解析式为
∵抛物线过（0，2）点，∴ ，∴
∴所求抛物线为： 或
（2）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ 不合题意，舍去。
∴抛物线应为：
抛物线与x轴有两个交点且点A在B的左侧，∴ ，得
（3）∵AB是⊙N的直径，∴r = ， N（－2，0），又∵M（－2，4），∴MN = 4
设直线 与x轴交于点D，则D（2，0），∴DN = 4，可得MN = DN，∴
，作NG⊥CM于G，在 = r
即圆心到直线CM的距离等于⊙N的半径
∴直线CM与⊙N相切
3、已知抛物线
（1）m为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？
（2）若抛物线与x轴交于M、N两点，当 =3，且 ≠ 时，求抛物线的解析式；
（3）若（2）中所求抛物线顶点为C，与y轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线y= -x+3与x轴交于点A。点P为抛物线对称轴上一动点，过点P作PD⊥AC，垂足D在直线AC上。试问：是否存在点P，使 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
[解析] （1）∵抛物线与x轴交于两点 ∴△>0
即： 解得：m<3
（2）∵ =3 ∴
当 时， ， ∴m=2，m=-3
∴
当 时， ， ∴m=0，m=-1
∴当m=0时， （与 ≠ 矛盾，舍）
∴m=-1
（3）∵抛物线与y轴交点在原点的上方， ∴ ，
∴C（-1，4），B（-1，0）
∵直线y=-x+3与x轴交于点A ∴A（3，0）
∴BA=BC ∠PCD=45°
当点D在线段AC上时，设PD=DC=x，
∴ 解得：
当 时， ∴
当 时， ∴
当点D在AC的延长线上时，设PD=DC=x，
∴ 解得：
当 时， ∴
当 时 ， ∵ ∴(舍去)
当点D在CA的延长线上时，设PD=DC=x，
∴ 解得：
当 时， ∴
当 时 ， ∵ ∴(舍去)
∴ ， ， ， 。
4、如图，已知抛物线L1: y=x2-4的图像与x有交于A、C两点，
（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式；（3分）
（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D，求证：点D在l2上；（4分）
（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由。（4分）
[解析] （1）设l2的解析式为y=a(x-h)2+k
∵l2与x轴的交点A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0，-4),l1与l2关于x轴对称，
∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是（0，4）
∴y=ax2+4
∴0=4a+4 得 a=-1
∴l2的解析式为y=-x2+4
(2)设B(x1 ,y1)
∵点B在l1上
∴B(x1 ,x12-4)
∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称
∴B、D关于O对称
∴D(-x1 ,-x12+4).
将D(-x1 ,-x12+4)的坐标代入l2：y=-x2+4
∴左边=右边
∴点D在l2上.
(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则
S=2*S△ABC =AC*|y1|=4|y1|
a.当点B在x轴上方时，y1＞0
∴S=4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大，
∴S既无最大值也无最小值
b.当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0
∴S=-4y1 ,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小，
∴当y1 =-4时，S由最大值16，但他没有最小值
此时B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
此时S最大=16.
5、如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜边上的中点．
如图②，若整个△EFG从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB方向平移，在△EFG 平移的同时，点P从△EFG的顶点G出发，以1cm/s 的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，△EFG也随之停止平移．设运动时间为x（s），FG的延长线交 AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（不考虑点P与G、F重合的情况）．
（1）当x为何值时，OP‖AC ?
（2）求y与x 之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456
或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
[解析]（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，
∴ ， ．
∴FG＝ ＝3cm．
∵当P为FG的中点时，OP‖EG ，EG‖AC ，
∴OP‖AC．
∴ x ＝ ＝ ×3＝1.5（s）．
∴当x为1.5s时，OP‖AC ．
（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm．
∵EG‖AH ，
∴△EFG∽△AFH ．
∴ ．
∴ ．
∴ AH＝ （ x ＋5），FH＝ （x＋5）．
过点O作OD⊥FP ，垂足为 D ．
∵点O为EF中点，
∴OD＝ EG＝2cm．
∵FP＝3－x ，
∴S四边形OAHP ＝S△AFH －S△OFP
＝ •AH•FH－ •OD•FP
＝ • （x＋5）• （x＋5）－ ×2×（3－x ）
＝ x2＋ x＋3
（0＜x＜3 ．
（3）假设存在某一时刻x，使得四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．
则S四边形OAHP＝ ×S△ABC
∴ x2＋ x＋3＝ × ×6×8
∴6x2＋85x－250＝0
解得 x1＝ ， x2＝ － （舍去）．
∵0＜x＜3，
∴当x＝ （s）时，四边形OAHP面积与△ABC面积的比为13∶24．
6、已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点C.�
(1)当B点的横坐标为时，求线段AC的长；�
(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；� (3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，且x12+x22－6(x1+x2)=8，求直线l的解析式．�
[解析] (1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝
∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=Rt∠ ，∴△ABO∽△ABC，∴ ，由此可求得：AC＝
方法二：由题意知：tan∠OAB=
(2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC＝AD，BD＝--4′
∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，则OB2＝AO×OD----6′，即
化简得：y= ，当O、B、C三点重合时，y=x=0，∴y与x的函数关系式为：y=
方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，则AC2＝(1－y)2+x2=(1+y)2，化简即可得。
(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得： ，
消去y得：x2-4kx-4b=0，则有 ，由题设知：
x12+x22-6(x1+x2)=8，即(4k)2+8b-24k=8，且b=-1，
则16k2-24k -16=0，解之得：k1=2，k2= ，
当k1=2、b=-1时，
△＝16k2+16b=64-16>0，符合题意；当k2= ，b=-1时，△＝16k2+16b=4-16<0，不合题意（舍去），
∴所求的直线l的解析式为：y=2x-1
7、如图，在平面直角坐标系中，两个函数 的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ‖x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S。
（1）求点A的坐标。
（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。
（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。
（4分）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________。
[解析] （1）由 可得
∴A（4，4）。
（2）点P在y = x上，OP = t，
则点P坐标为
点Q的纵坐标为 ，并且点Q在 上。
∴ ，
即点Q坐标为 。
。
当 时， 。
当 ，
当点P到达A点时， ，
当 时，
。
（3）有最大值，最大值应在 中，
当 时，S的最大值为12。
（4） 。
8、如图1： ACB与 DCE是全等的两个直角三角形，其中 ACB= DCE=900，AC=4，BC=2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上.
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；
（2）如图2若 DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD，；
（3）在 DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使 DCE与 ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为 ，这个四边形的面积为 ，求 与 的函数关系式，并写出它的定义域.
[解析] （1）直线DE与AB垂直.
证明：延长DE交AB于点F
∵ ACB与 DCE是全等的两个直角三角形
∴∠D=∠A
∵ ACB=900
∴∠A+∠B=900
∴∠D+∠B=900
∴ BFD=900
∴直线DE与AB垂直.
（2）设平移距离DD，=
则CC，= ，BC，=
∵AC‖E，C，
∴
又BC=2，EC=E，C，=2 AC=4
∴
∴
所以平移距离DD，为1.
（3）在 DCE沿着直线DB向右平移的过程中
第一种情况：
如图当点E落在 ACB内部或边AB上
设D，E，与边AC交于点G
∵DD，=
∴CD，=
由题意可知：D，G‖DE
∴ ∽
∴
又 CD=4，
∴
∴
∴
∴ 定义域为
第二种情况
如图当点E落在 ACB外部，且点C与点B重合或在CB的延长线上，
点D在线段CD上（与点C不重合）.
设D，E，分别交边AC、AB于点G、F
由第一种情况可知：
由（1）可知：D，F⊥AB
∴ D，FB = ACB=900
又 ABC= D，BF
∴ ∽
∴
又 AB= =
BD，=
∴
∴
=
即： 定义域为
7、如图，在平面直角坐标系中，两个函数 的图象交于点A。动点P从点O开始沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ‖x轴交直线BC于点Q，以PQ为一边向下作正方形PQMN，设它与△OAB重叠部分的面积为S。
（1）求点A的坐标。
（2）试求出点P在线段OA上运动时，S与运动时间t（秒）的关系式。
（3）在（2）的条件下，S是否有最大值？若有，求出t为何值时，S有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。
（4分）若点P经过点A后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN与△OAB重叠部分面积最大时，运动时间t满足的条件是____________。
[解析] （1）由 可得
∴A（4，4）。
（2）点P在y = x上，OP = t，
则点P坐标为
点Q的纵坐标为 ，并且点Q在 上。
∴ ，
即点Q坐标为 。
。
当 时， 。
当 ，
当点P到达A点时， ，
当 时，
。
（3）有最大值，最大值应在 中，
当 时，S的最大值为12。
（4） 。
8、如图1： ACB与 DCE是全等的两个直角三角形，其中 ACB= DCE=900，AC=4，BC=2，点D、C、B在同一条直线上，点E在边AC上.
（1）直线DE与AB有怎样的位置关系？请证明你的结论；
（2）如图2若 DCE沿着直线DB向右平移多少距离时，点E恰好落在边AB上，求平移距离DD，；
（3）在 DCE沿着直线DB向右平移的过程中，使 DCE与 ACB的公共部分是四边形，设平移过程中的平移距离为 ，这个四边形的面积为 ，求 与 的函数关系式，并写出它的定义域.
[解析] （1）直线DE与AB垂直.
证明：延长DE交AB于点F
∵ ACB与 DCE是全等的两个直角三角形
∴∠D=∠A
∵ ACB=900
∴∠A+∠B=900
∴∠D+∠B=900
∴ BFD=900
∴直线DE与AB垂直.
（2）设平移距离DD，=
则CC，= ，BC，=
∵AC‖E，C，
∴
又BC=2，EC=E，C，=2 AC=4
∴
∴
所以平移距离DD，为1.
（3）在 DCE沿着直线DB向右平移的过程中
第一种情况：
如图当点E落在 ACB内部或边AB上
设D，E，与边AC交于点G
∵DD，=
∴CD，=
由题意可知：D，G‖DE
∴ ∽
∴
又 CD=4，
∴
∴
∴
∴ 定义域为
第二种情况
如图当点E落在 ACB外部，且点C与点B重合或在CB的延长线上，
点D在线段CD上（与点C不重合）.
设D，E，分别交边AC、AB于点G、F
由第一种情况可知：
由（1）可知：D，F⊥AB
∴ D，FB = ACB=900
又 ABC= D，BF
∴ ∽
∴
又 AB= =
BD，=
∴
∴
=
即： 定义域为