菲波拉契数列的通项公式？

Question

如题所述

Answer 1

通项公式推导如下：
(An+1)=(An)+(An-1),将An项分解为(((1+√5)/2)+((1-√5)/2))(An)，然后移项，得到下式：
(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)(An)+(An-1)
即(An+1)-((1+√5)/2)(An)=((1-√5)/2)((An)-((1+√5)/2)(An-1))
即新数列{(An)+((1+√5)/2)(An-1)}是以((1-√5)/2)为首项，((1-√5)/2)为公比的等比数列
即(An)-((1+√5)/2)(An-1)=((1-√5)/2)^n
即(An)=((1+√5)/2)(An-1)+((1-√5)/2)^n
两边同时除以((1+√5)/2)^n，得又一新数列(Bn)=(Bn-1)+(((1-√5)/2)^n)/(((1+√5)/2)^(n+1))
其中，(Bn)=An/(((1+√5)/2)^n)
依次递归，得到(Bn)=((1+√5)/2)^(-1)+2*(((1-√5)/(1+√5)^2)+(((1-√5)^2)/(1+√5)^3)+……+(((1-√5)^(n-1))/(1+√5)^n))
将Bn带入，化简，得到An=((((1+√5)/2)^n)-(((1-√5)/2)^n))/(√5)
(注√表示根号)

Answer 2

a1=1,a2=1,a3=a1+a2=2, an+1=an+an-1