第4个回答 2021-04-03
1.弧长公式: l=(n/180)*pi*r,l是弧长,n是扇形圆心角,pi是圆周率,r是扇形半径
2.圆心角为n°的扇形面积: S=nπR^2÷360
3.弦长公式:a=2rsinn(n是扇形圆心角,r是扇形半径,a是弦长
设弦长为L,弧长为C,半径长为r 则弦与弧长关系式为 C = arcsin(L/2r)×2r ...................... 弧度制 C = arcsin(L/2r)×πr/90 .............. 角度制 (arcsin 为反正弦函数) 该公式推理见下图 所以弦与弧长的关系还与半径有关: 弦长相同时,半径越长,弧长越短;反之亦然 弧长相同时,半径越长,弦长越长;反之亦然
第一步,解析弧长表达式
根据题意,有直角三角形关系如下:
R^2=(R-b)^2+(a/2)^2解得:
R=(a^2+4*b^2)/8b,设弧长为L,由公式得:
L=2θR=θ(a^2+4*b^2)/4b.
∵sinθ=(A/2)/R=4ab/(a^2+4*b^2)
∴θ=arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)].
即弧长计算表达式为:
L=(a^2+4*b^2)/4b*arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]。
第二步,泰勒展开计算结果
1.泰勒公式定义展开计算
(arcsinx)´=(1-x^2)^(-1/2),则(arcsin0)´=1;
(arcsinx)´´=-(1/2)*(1-x^2)^(-3/2)*(-2x)=x(1-x^2)^(-3/2);
(arcsinx)´´´=(1-x^2)^(-3/2)+x[(1-x^2)^(-3/2)]´;
则:(arcsin0)´´=0,(arcsin0)´´´=1.
即arcsinx≈x+0+(1/3!)x^3=x+x^3/6=x(x^2+6)/6.此时
arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]
≈4ab[8a^2b^2+3(a^2+4b^2)^2]/[3(a^2+4b^2)^3].
代入弧长计算表达式得:
L≈a[8a^2b^2+3(a^2+4b^2)^2]/[3(a^2+4*b^2)^2]
即:
L≈a+[(8/3)a(ab)^2/(a^2+4*b^2)^2].
代入数值计算,得:
L≈5+[(8/3)*5*5^2/(5^2+4*1^2)^2]
L≈5.4。
2.泰勒变形公式展开计算
∵(arcsinx)´=(1-x^2)^(-1/2)
≈1+(-1/2)*(-x^2)+(-1/2)*(-3/2)*(-x^2)^2
≈1+(1/2)x^2+(3/4)x^4
∴arcsinx=∫(1-x^2)^(-1/2)dx
≈x+(1/6)x^3+(3/20)x^5.对本题有:
arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]≈[4ab/(a^2+4*b^2)]+
(1/6)[4ab/(a^2+4*b^2)]^3+(3/20)[4ab/(a^2+4*b^2)]^5.
arcsin[4ab/(a^2+4*b^2)]
≈4ab*{15(a^2+4b^2)^4+40[(ab(a^+4b^2)]^2
+576(ab)^4}/[15(a^2+4b^2)^5]。代入到弧长表达式得:
L≈a*{15(a^2+4b^2)^4+40[(ab(a^+4b^2)]^2
+576(ab)^4}/[15(a^2+4b^2)^4]。即:
L≈a+8a*(ab)^2[5(a^2+4b^2)^2+72(ab)^2]/[15(a^2+4b^2)^4].
代入数值计算,得:L≈
5+40*5^2[5(5^2+4*1^2)^2+72*5^2]/[15*(5^2+4*1^2)^4],
即:L≈5.57。
结语:
可见两种计算方法,都是弦长增量计算法,都存在一定的误差