已知数列an的前n项和为Sn，a1=2,Sn=n^2+n,求an通项公式.设1/Sn的前n项和为Tn，求证Tn<1

Question

如题所述

Answer 1

（1）n≥2时，an=Sn-S(n-1)=n²+n-(n-1)²-(n-1)=2n.
又a1=2，所以an=2n.
（2）1/Sn=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1).
所以Tn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/n-1/(n+1)]=1-1/(n+1)<1.

Answer 2

解：
Sn=n²+n
而：
an=Sn-S(n-1)=n²+n-[(n-1)²+n-1]
=2n-1+1
=2n
Sn=a1+a2+....+an
=2(1+2+3+...+n)
=n(n+1)
∴
1/Sn=1/n(n+1) = 1/n - 1/(n+1)
Tn=1/S1+1/S2+....+1/Sn
=1/1-1/2+1/2-1/3+.....+1/n - 1/(n+1)
=1-1/(n+1)
<1

Answer 3

解：（1）当n≥2时，an=Sn-S(n-1)=n²+n-(n-1)²-(n-1)=2n.
又a1=2，也满足公式2n,故an=2n.
（2）1/Sn=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1).（裂项法）
故Tn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/n-1/(n+1)]=1-1/(n+1)<1. （裂项相消）（放缩法）

Answer 4

an=Sn-S(n-1)=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n
n=1时成立，所以an=2n
1/Sn=1/(n^2+n)=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
Tn=1/S1+1/S2+……+1/Sn=1/1-1/2+1/2-1/3……+1/n-1/(n+1)=1-1/(n+1)＜1

Answer 5

有些步骤简略了 ，自己加详细点哦。   还有注意方法的积累咯   加油！