从1的平方一直加到N的平方等于多少

Question

如题所述

Answer 1

从1的平方一直加到N的平方的和可以表示为：
1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2
这个和可以用以下公式计算：
N(N+1)(2N+1)/6
所以，从1的平方一直加到N的平方的和等于N(N+1)(2N+1)/6。

Answer 2

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6
即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
(注：N^2=N的平方)
证明1＋4＋9＋…＋n^2＝N(N+1)(2N+1)/6
证法一（归纳猜想法）：
1、N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2、N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3、设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋…＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时，
1＋4＋9＋…＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6

Answer 3

从 1 的平方一直加到 N 的平方的和可以用以下公式表示：

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + N^2 = N(N+1)(2N+1)/6

所以，从 1 的平方一直加到 N 的平方的和等于 N(N+1)(2N+1)/6。本回答被网友采纳

Answer 4

n+(n+1)ⅹ(2n+1)

Answer 5

用累加法
证：
(a+1)³-a³=3a²+3a+1，
所以a=1时：2³-1³=3×1²+3×1+1
a=2时：3³-2³=3×2²+3×2+1
a=3时：4³-3³=3×3²+3×3+1
a=4时：5³-4³=3×4²+3×4+1...
a=n时：（n+1）³-n³=3×n²+3×n+1
等式两边相加可得：
（n+1)³-1=3（1²+2²+3²+······+n²）+3（1+2+3+······+n）+（1+1+1+······+1）
3（1²+2²+3²+...+n²）=（n+1）³-1-3（1+2+3+.+n）-（1+1+1+...+1）
3（1²+2²+3²+...+n²）=（n+1）³-1-3（1+n）×n÷2-n
6（1²+2²+3²+······+n²）=2（n+1)³-3n（1+n)-2(n+1)=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]
=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]=n(n+1)(2n+1)
所以1²+2²+······+n²=n（n+1)（2n+1）/6
望采纳，谢谢！