如何求解导热微分方程?

Question

如题所述

Answer 1

在建立实际问题的数学模型时，首先提出如下假设：①导热物体是各向同性的连续介质；②导热率、比热容、密度均为常物性③物体内具有内热源，内热源均匀分布，其强度为qv(W/m^3)， qv表示单位体积的导热体单位时间内放出的热量。 由傅里叶定律和能量守恒定律可以推出下面的导热微分方程一般形式：
等号左边一项是单位时间内微元体热力学能的增量，称为非稳态项；等号右边前三项之和是通过界面的导热而使微元体在单位时间内增加的能量，称为扩散项；等号右边最后一项是源项。
式中的热扩散率反映了导热过程中材料的导热能力（λ）与沿途物质储热能力（ρc）之间的关系。热扩散率的大小表征了物体被加热或冷却时，无头内各部分温度趋向与均匀一致的能力，故也称为导温系数。 求解导热问题归结为对导热微分方程式的求解，所获得解是一该导热微分方程的通解。使微分方程得到特解的附加条件即数学上的定解条件。定解条件分为四类：几何条件、物理条件、时间条件和边界条件。
几何条件
说明导热体的几何形状和大小。
物理条件
说明导热体的物理特征。
时间条件
说明导热过程随时间进行的特点。
非稳态导热过程的求解，必须给出过程开始时刻导热体内的温度分布，故时间条件又称为初始条件。
边界条件
说明热体边界上导热过程的特点，反应与周围环境相互作用的条件。常见的边界条件分为三类。
（1）第一类边界条件：规定了边界上的温度值。
（2）第二类边界条件：规定了边界上的热流密度值。
（3）第三类边界条件：规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数h和周围流体的温度tf。