1、混合积的几何意义：
几何上，由三个向量定义的平行六面体，其体积等于三个标量标量三重积的绝对值：
2、证明：
以 b 和 c 来表示底面的边，则根据叉积的定义，底面的面积A为：
其中，
且
得出结论：
于是，根据点积的定义，它等于
的绝对值，即
扩展资料：
混合积的特性：
1、以下恒等式，称作三重积展开或拉格朗日公式，对于任意向量 a，b。c 均成立：
2、英文中有对于第一式有助记口诀 BAC-CAB (BACK-CAB，后面的出租车)，但是不容易记住第一式跟第二式的变化，很容易搞混。 观察两个公式，可得到以下三点：
两个分项都带有三个向量 a，b。c ，三重积一定是先做叉积的两向量之线性组合。中间的向量所带的系数一定为正（此处为向量b）。
在向量分析中，有以下与梯度相关的一条恒等式：
这是一个拉普拉斯－德拉姆算子的特殊情形。
参考资料来源：百度百科 - 混合积
混合积的几何意义：几何上，由三个向量定义的平行六面体，其体积等于三个标量标量三重积的绝对值：
三重积，又称混合积，是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和向量三重积。设 a ，b ，c 是空间中三个向量，则 (a×b)·c 称为三个向量 a ，b ，c 的混合积，记作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc)。
扩展资料：
向量积方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）
也可以这样定义（等效）：向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>。
即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。
而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。
运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。
参考资料来源：百度百科-混合积
本回答被网友采纳混合积的几何意义：几何上，由三个向量定义的平行六面体，其体积等于三个标量标量三重积的绝对值：
三重积，又称混合积，是三个向量相乘的结果。向量空间中，有两种方法将三个向量相乘，得到三重积，分别称作标量三重积和向量三重积。设 a ，b ，c 是空间中三个向量，则 (a×b)·c 称为三个向量 a ，b ，c 的混合积，记作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc)。
扩展资料：
向量积的代数规则
1、反交换律：a×b=-b×a
2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。
3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。
4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。
6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。
参考资料来源：百度百科-混合积
本回答被网友采纳向量的混合积可以用来计算四面体的体积V=1/6*abs([AB AC AD])，即向量的混合积为空间六面体的体积。
例如上图中，AB ,AD ,AA1 的混合机几何意义就是如图所示的空间六面体的体积。
混合积：设 a ，b ，c 是空间中三个向量，则 (a×b) c 称为三个向量 a ，b ，c 的混合积，记作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc).
定义：设 a ，c 是空间中三个向量，则 (a×b)c 称为三个向量 a ，b ，c 的混合积，记作[a b c] 或 (a,b,c) 或 (abc).
设 a ，b ，c 为空间中三个向量，则 |(a×b)c| 的几何意义表示以 a ，b ，c 为棱的平行六面体的体积 .
因为 (a,b,c)=(a×b)c=|a×b||c|cos 〈 a ×b ，c 〉=
|ax ay az|
|bx by bz|
|cx cy cz|
向量的混合积可以用来计算四面体的体积V=1/6*abs([AB AC AD])
，从而混合积 (a,b,c) 的符号是正还是负取决于 ∠ (a×b ， c ) 是锐角还是钝角，即 a×b 与 c 是指向 a ， b 所在平面的同侧还是异侧，这相当于 a ， b ， c 三个向量依序构成右手系还是左手系 .
定理：三个向量 a ， b ， c 共面的充分必要条件是 (a,b,c)=0.