设a＞0，函数f(x)＝ax+b/x2+1(b为常数）。证明；函数f(x)有两个极点

Question

如题所述

Answer 1

证明如下：
对f(x)=(ax+b)/(x^2+1)求导，
f'(x)=[a*(x^2+1)-(ax+b)*2x]/(x^2+1)
=-a(x^2+2b/a*x-1)/(x^2+1)^2， ①
因为a>0，f'(x)的符号仅由x^2+2b/a*x-1的符号决定（与之相反）。
令f'(x)=0得：-a(x^2+2b/a*x-1)/(x^2+1)^2=0，
即，a(x^2+2b/a*x-1)=0，
x^2+2b/a*x-1=0， ②
该二次方程的判别式Δ=4(b/a)^2+4>0（恒为正），故必有两个实根。即二次函数x^2+2b/a*x-1必有两个零点，且在两个零点附近，该二次函数变号，且由二次函数的图像易知，两个零点附近符号变化相反（一个零点附件符号由正变负，另外一个零点附近符号符号由负变正）。故f'(x)有且仅有两个零点，两个零点附近符号变化相反，则f(x)在两个驻点处一个取极大值，一个取极小值。

Answer 2

分式函数求导f'(x)=[a(x�0�5+1)-(ax+b)2x]/(x�0�5+1)�0�5=[-ax�0�5-2bx+a]/(x�0�5+1)�0�5
分子Δ=4b�0�5+4a�0�5＞0可知f'(x)=0必有两个交点，∴f(X)必有极大值点和极小值各有一个