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完全平方数
知识要点：
如果n是一个整数，那么n2就叫做完全平方数。
性质：
（1） 任何完全平方数的个位数字只能是：0、1、4、5、6、9中的一个，即个位数字是2、3、7、8的整数肯定不是完全平方数。
（2） 偶数的平方必能被4整除。
（3） 任何奇数的平方被8除余1。
（4） 末位数字是5的平方数的十位数字和百位数字均是偶数。如25、225、625。
（5） 若a、b都是平方数，且a=bc，则c也是完全平方数。
例100=4×25 102=4×52 4=22
（6） 设a是平方数，p是质数，若p∣a，那么p2∣a。例3∣36，那么32∣36。
（7） 完全平方数有基数个不同是约数。
例 25的约数有1、5、25 3个
36的约数有1、2、3、4、6、9、12、18、36 9个
49的约数有1、7、49 3个
（8） 形如3k+2、4k+2、4k+3、5k+2、5k+3、8k+2、8k+3、8k+5、8k+6、8k+7、9k+2、
9k+3、9k+5、9k+6、9k+8的数不是完全平方数。
（9） 算术基本定理：
对于任一整数n>1，可以分解成 （k≤1，p1<p2<……<pk），其中p1、p2、……pk 是互不相同的质数，a1、a2……ak 是正整数，这样的分解只有一种。
例如120=22×3×10 唯一的
（10） 约数的个数定理：
一个整数N（N>1），如果它的标准分解式为 ，那么它的约数个数为(1+a1)(1+a2)……（1+an）。
例120=22×3×10，约数为(1+2)(1+1)(1+1)=12个。
例1. 证明：形如3n+2的数不是完全平方平方数。
解题思路：整数被3除，只有三种可能，即3k、3k+1、3k+2，因此，只需证明任何整数平方后都不可能是3n+2的形即可。
证明：∵整数被3除，只有三种可能性，即余数为0、1、2
可以表示为3k、3k+1、3k+2
∵(3k)2=9k2=3(3k2)
(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1
(3k+2)2=9k2+12k+4=9k2+12k+3+1=3(3k2+4k+1)+1
即被3除的任何整数平方后，只能是3n或3n+1的形式
∴形如3n+2的数不可能是完全平方数。
例2. 求证：⑴奇数的平方被8除余1
⑵偶数的平方数一定是4的倍数
证明：⑴∵任何奇数都可以表示为2k+1的形式
∴(2k+1)2=4k2+4k+1=4k(k+1)+1
又∵4∣4，且2∣k(k+1)
∴8∣4k(k+1)
即任何奇数的平方被8除余1。
⑵任何偶数都可以表示成2k的形式
∵(2k)2=4k2
∵4∣4k2
∴任何偶数的平方都被4整除。
例3. 在下列括号中填入适当的正整数。
5=( )2-( )2 7=( )2-( )2 9=( )2-( )2 11=( )2-( )2
从以上填空中，你发现了什么规律？请用等式表现出来。
解：5=32-22 7=42-32 9=52-42 11=62-52
…… …… (2n+1)=(n+1)2 -n2
例4. 试证：完全平方数个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。
证明：当奇数是一位数时，其完全平方数的十位数字是偶数
如32=9 52=25 72=49 92=81 (32=9 9的十位数字是0，0是偶数)
如果这个奇数是多位数，设个位数字为b，十位数以上为a
则该奇数可以写成10a+b，其中a是正整数，b为奇数
∵(10a+b)2=100a2+20ab+b2
其中b2的十位数字是偶数，20ab也是偶数
故(10a+b)2的十位数字是偶数
即完全平方数个位数字是奇数时，其十位上的数字必为偶数。
例5. 试证：一个整数的平方，个位数字是6时，十位数字必为奇数。
证明：设完全平方数n的个位数字为6
那么n=a2，a的个位数字必为4或6
当a=10k+4时 n=a2=(10k+4)2=100k2+80k+16=10(10k2+8k+1)+6
当a=10k+6时 n=a2=(10k+6)2=100k2+120k+36=10(10k2+12k+3)+6
n的十位数字是10k2+8k+1 或10k2+8k+1的个位数字，显然是奇数。
例6. 如果a、b都是自然数，并且b3=1176a，求a可以取到的最小值。
解题关键：把1176用整数的质因数连乘积表示法表示出来。
解：∵1176=8×3×49=23×3×72
∴
∵a是自然数
∴b=2×3×7=42
∴a=63
例7. 自然数6432有多少公约数？6432与132的最大公约数减7等于多少？
解：∵6432=25×3×67
∴约数有(5+1)(1+1)(1+1)=24个
∵132=22×3×3
∴6432与132的最大公约数是12。
∴12-7=5
例8. 有多少个自然数除200，余数为8？
解：设x为符合题意的自然数
则200=xq+8 (x>8)
即qx=200-8=192
x是192的约数
∵192=64×3=26×3
约数的个数为(6+1)(1+1)=14个
∵x>8
∴小于等于8的约数为1、2、3、4、6、8，共6个
∴符合题意的自然数为14。
例9. 自然数n的正约数共有10个，则n的最小值为________
解题关键：利用正整数的约数个数定理。
解：设
则n的正约数的个数=(1+a1)(1+a2)……(1+ak)
∵10=1×10=2×5
∴(1+a1)(1+a2)=1×10或(1+a1)(1+a2)=2×5
由 1+a1=1 得 a1=0
1+a2=10 a2=9
∴此时最小的n为：29=512
由 1+a1=2 得 a1=1
1+a2=5 a2=4
∴此时最小的n为：24×31=16×3=48
因此，具有10个正约数的自然数n的最小值为48。