跪求高数大神解释有界和收敛的区别，有界不一定收敛么？

Question

如题所述

Answer 1

一、两者的性质不同：

1、有界的性质：

（1）单调性：闭区间上的单调函数必有界。其逆命题不成立。

（2）连续性：闭区间上的连续函数必有界。其逆命题不成立。

（3）可积性：闭区间上的可积函数必有界。其逆命题不成立。

2、收敛的性质：

（1）全局收敛：对于任意的X0∈[a,b],由迭代式Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，即其当k→∞时，Xk的极限趋于X*，则称Xk+1=φ（Xk）在[a，b]上收敛于X*。

（2）局部收敛：若存在X*在某邻域R={X| |X-X*|<δ},对任何的X0∈R，由Xk+1=φ（Xk）所产生的点列收敛，则称Xk+1=φ（Xk）在R上收敛于X*。

二、两者的概述不同：

1、有界的概述：若存在两个常数m和M，使函数y=f(x),x∈D 满足m≤f(x)≤M,x∈D 。 则称函数y=f(x)在D有界，其中m是它的下界，M是它的上界。

2、收敛的概述：是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

三、两者的意义不同：

1、有界的意义：根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界。一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时，函数的值就变得越来越大。

2、收敛的意义：数学分析的基本概念之一，它与“有确定的(或有限的)极限”同义，“收敛于……”相当于说“极限是……(确定的点或有限的数)”。

有界不一定收敛，因为有界函数并不一定是连续的。

参考资料来源：百度百科-有界

参考资料来源：百度百科-有界函数

参考资料来源：百度百科-收敛（数学、经济学名词）

参考资料来源：百度百科-收敛性

Answer 2

有界指的是数列或函数有上界也有下届，即不是无穷大，也不是无穷小，有界不一定收敛，如（-1）的n次方 有界【-1,1】，但他不收敛；收敛必定有界，因为收敛的数列或函数有一个极限，收敛于一个值，就有一个界限了。总之，收敛必定有界，有界不一定收敛。追问

收敛是说只有一个极限，而有界不一定只有一个极限么？这样理解对么？

追答

可以这么理解

追问

谢谢

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Answer 3

有界是收敛必要非充分条件。