充要条件

Question

求证：关于x的方程ax^3+bx^2+cx+d=0有一个根为-1的充要条件是a-b=d-c(只要说一下怎么证明a-b=d-c是方程ax^3+bx^2+cx+d=0有一个根为-1的必要条件就行了)

Answer 1

相关内容如下：

解答：

证明：充分性：

∵a+b=-（c+d），

∴a+b+c+d=0，

∴a×13+b×12+c×1+d=0成立，

故x=1是方程ax3+bx2+cx+d=0的一个根。

必要性：关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一个根为1，

∴a+b+c+d=0，

∴a+b=-（c+d）成立。

故方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-（c+d）。

解析：

要证明关于x的方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-（c+d）．我们要分充分性和必要性两部分证明，充分性证明。

即假设a+b=-（c+d）成立，推理后得到方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1，必要性证明则假设方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1推理得到a+b=-（c+d），两们部分均成立才能得到方程ax3+bx2+cx+d=0有一根为1的充要条件是a+b=-（c+d）。

Answer 2

1）.
证明：
a-b=d-c变形得
-a+b-c+d=0
ax^3+bx^2+cx+d=0
两等式对比，x=-1显然满足条件
得证

2）.
(反证法)
x=-1时，显然是解。
a-b=d-c变形得
-a+b-c+d=0
ax^3+bx^2+cx+d=0
假设x！=-1时 有解。
由a和b的系数之比为-1：1，得:x=-1；所以假设不成立。
得证。本回答被提问者采纳

Answer 3

Answer 4

将x=-1代入方程ax^3+bx^2+cx+d=0，
可得-a+b-c+d=0，
移项可得a-b=d-c，
因此，a-b=d-c是方程ax^3+bx^2+cx+d=0有一个根为-1的必要条件