什么是映射?

Question

如题所述

Answer 1

设两个集合A和B，和它们元素之间的对应关系R，如果对于A中的每一个元素，通过R在B中都存在唯一一个元素与之对应，则该对应关系R就称为从A到B的一个映射(Mapping)。其中A称为原象，B称为象。

映射是数学中描述了两个集合元素之间一种特殊的对应关系的。

映射在不同的领域有很多的名称，它们的本质是相同的。如函数，算子等等。这里要说明,函数是两个数集之间的映射，其他的映射并非函数。

一一映射(双射)是映射中特殊的一种，即两集合元素间的唯一对应，通俗来讲就是一个对一个。

(由定义可知,图1中所示对应关系不是映射,而其它三图中所示对应关系就是映射。)

或者说,设A B是两个非空的集合,如果按,某一个确定的对应关系f.使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:B A为从集合A到集合B的一个映射
映射的成立条件简单的表述就是下面的两条：
1、定义域的遍历性：X中的每个元素x在映射的值域中都有对应对象；
2、对应的唯一性：定义域中的一个元素只能与映射值域中的一个元素对应；
映射的分类：
映射的不同分类是根据映射的结果进行的，从下面的三个角度进行：
1、根据结果的几何性质分类：满射（到上）与非满射（内的）；
2、根据结果的分析性质分类：单射（一一的）与非单的；
3、同时考虑几何与分析性质：满的单射（一一对应）。

注：右图中（1）不是A到B的映射，（2）（3）（4）都是A到B的映射。

映射的的个数与A,B的元素的个数关系
[编辑本段]

集合AB的元素个数为m,n,
那么,从集合A到集合B的映射的个数为n的m次

■函数和映射，满映射和单映射的区别

函数是数集到数集映射，并且这个映射是“满”的。
即满映射f: A -> B是一个函数，其中原像集A称做函数的定义域，像集B称做函数的值域。

“数集”就是数字的集合，可以是整数、有理数、实数、复数或是它们的一部分等等。
“映射”是比函数另广泛一些的数学概念，它就是一个集合到另一个集合的一种确定的对应关系。即，若f是集合A到集合B的一个映射，那么对A中的任何一个元素a，集合B中都存在唯一的元素b与a对应。我们称a是原像，b是像。写作f: A -> B，元素关系就是b = f(a).
一个映射f: A -> B称作“满”的，就是说对B中所有的元素，都存在A中的原像。
在函数的定义中要求是满射，就是说B必须恰好是值域，不应比值域大。（这个定义来源于一般中学中的讲法，实际上许多数学书上并不一定定义函数是满射。）

象集中每个元素都有原象的映射称为满射
原象集中不同元素的象不同的映射称为单射
单射和满射可共同决定为一一映射。