立体几何

Question

已知PA⊥于矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC的中点，求证MN⊥CD; 若∠PDA=45°，求证MN⊥面PCD。。请各用两种方法证明，有一种是取PD中点E，连接NE的。谢谢了。

Answer 1

第一种
取PD中点E，连接NE，连接EA, NE是三角形PCD中位线，NE平行于CD且是他的一半，矩形ABCD中，AB平行于CD,M为AB中点，所以NE平行且等于MA,所以四边形AMNE为平行四边形，
又CD垂直于DA，PA垂直于矩形ABCD平面，则PA垂直于CD,所以CD垂直于面PAD.
然后就得到CD垂直于AE,又AE平行于MN,(四边形AMNE为平行四边形),所以MN垂直于CD。
若∠PDA=45°，则直角三角形PAD是等腰直角三角形。 E为PD中点，所以AE垂直于PD,即MN垂直于PD，已得MN垂直于CD，所以MN垂直于面PCD。
第二种
连结BD AC交于O点，在矩形ABCD中，O为BD AC中点，ON是三角形PAC中位线，ON平行于PA
,又PA垂直于矩形ABCD平面，所以易得ON垂直于矩形ABCD平面,ON垂直于CD,
MO是三角形ABC中位线，OM平行于BC,又BC垂直于CD,则OM垂直于CD,得CD垂直于面MNO
,所以CD垂直于MN
若∠PDA=45°,取PD中点E，连接NE，连接EA,同第一种方法，NE是三角形PCD中位线，NE平行于CD且是他的一半，矩形ABCD中，AB平行于CD,M为AB中点，所以NE平行且等于MA,所以四边形AMNE为平行四边形，且直角三角形PAD是等腰直角三角形。 E为PD中点，所以AE垂直于PD,又AE平行于MN,(四边形AMNE为平行四边形),所以MN垂直于PD,已得MN垂直于CD，所以MN垂直于面PCD。
45°角的用法比较单一，所以最后步骤有点相似。
希望对你有帮助
(*^_^*)

Answer 2

这个好说：题中叙述是有问题。我跟你一个图形，你一看就明白了。因为正三棱锥的∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，所以：展开图的∠APA=90°，即三角形APA是