f(x)为R上的偶函数,当x大于等于0时,f(x)=ln(x+2) 一,当x小于0时,求f(x)解析式 二,当m属于r时, 试比较f(m-1)与f(3-m)的大小 三,求最小的整数m(m大于等于-2)使得存在实数t,对任意的x属于[m,10]都有f(x+t)小于等于2ln|x+3|
解:⑴、当x<0时,-x>0,所以f(-x)=ln(-x+2),
又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),代入上式得出
当x<0时,求f(x)=ln(-x+2);
⑵、对于偶函数,要比较y值大小,只要比较对应的x与对称轴的距离谁大谁小即可,所以本题只要比较|m-1|与|3-m|的大小,可以采取比较(m-1)²与(3-m)²的方法。
首先,易得出f(x)在x≥0时为增函数,在x<0时为减函数,
其次,因为(m-1)²-(3-m)²=4(m-2),所以
当m<2时,|m-1|<|3-m|,所以f(m-1)<f(3-m);
当m=2时,|m-1|=|3-m|,所以f(m-1)=f(3-m);
当m>2时,|m-1|>|3-m|,所以f(m-1)>f(3-m);
⑶、f(x)的表达式可合并写为f(x)=ln(|x|+2),所以由f(x+t)≤2ln|x+3|得
ln(|x+t|+2)≤2ln|x+3|,化简得
|x+t|+2≤(x+3)²
|x+t|≤x²+6x+7
记g(x)=|x+t|,h(x)=x²+6x+7,g(x)与h(x)的交点为M(x1,y1)、N(x2,y2),不妨设M在左N在右,记h(x)与x轴的交点为A、B,不妨设A在左B在右,易求得其横坐标为-3±√2,
在同一坐标系中作出g(x)与h(x)的图像。其中前者是一条折线,后者是抛物线。由于t值的变化,所以图像有三种情况。
由图可看出,要使g(x)≤h(x),只有x∈(-∞,x1)或x∈(x2,+∞),而x1≤-3-√2<10,所以要使在x∈[m,10],都有g(x)≤h(x),只有x∈(x2,+∞),故
m≥x2≥-3+√2
而m为整数,所以m的最小值为-1。