大一高等数学题一道，如图1第6题

Question

大一高等数学题一道，如图1第6题此时已知图2和3中的定理。我知道题目是一个定理，请大佬帮忙证明这个定理。

Answer 1

解：原式=∫(2t-1+1)dt/(t^2-t+1)=∫d(t^2-t+1)/(t^2-t+1)+∫dt/(t^2-t+1)=ln(t^2-t+1)+∫dt/(t^2-t+1)，
而∫dt/(t^2-t+1)=∫dt/[(t-1/2)^2+3/4]=(2/√3)arctan[(2t-1)/√3]+C1,
∴原式=ln(t^2-t+1)+(2/√3)arctan[(2t-1)/√3]+C。