复变函数复习题 高亮 采纳加分

Question

如题所述

Answer 1

选择1C，e^z是以2πi为周期的函数。
2A，因为被积函数的两个奇点z=±√2都在积分曲线外部，而解析函数沿闭曲线的积分等于0。
3D，直接用柯西黎曼方程u'x=v'y验证。
4D，解析函数沿闭曲线的积分∮f(z)dz本身就等于0，其实部当然也是0。
5B，概念，ACD的条件都不足。
6A，积分=(1/2)∫cosz^2dz^2=(1/2)sinz^2=(sin9)/2。
填空1，ln5，acrtan(-4/3)+π，lnz=ln|z|+iargz。
2，0，e^z是解析函数，沿闭曲线积分等于0。
3，2πei(cos1-sin1)，用高阶导数公式，积分=2πif‘(1)，其中f(z)=e^zcosz。
4，2πi
5，m，-m，2m，u'x=2ax=v'y=cx，u'y=2by=-v'x=-cy。
计算，根据柯西黎曼方程u'x=v'y，u'y=-v'x，有v'y=(1/x)/[1+(y/x)^2]=x/(x^2+y^2）=u'x，因此u=∫xdx/(x^2+y^2)=(1/2)∫dx^2/(x^2+y^2)=(1/2)ln(x^2+y^2)+φ(y)，故u'y=y/(x^2+y^2)+φ'(y)=-v'x=(y/x^2)/[1+(y/x)^2]=y/(x^2+y^2)，φ'(y)=0，φ(y)=c，故u=(1/2)ln(x*2+y^2)+c，f(z)=lnz+c，所以f(1)=c=2，故f(z)=lnz+2，u=(1/2)ln(x*2+y^2)+2。