合并后的样本方差计算公式推导过程

Question

如题所述

Answer 1

在统计学中，合并样本方差是指将两个或多个样本的方差合并为一个新的方差。这个新的方差可以用来估计总体方差。在本文中，我们将探讨如何推导合并样本方差的计算公式。
首先，假设我们有两个样本 $X_1$ 和 $X_2$，它们的方差分别为 $S_1^2$ 和 $S_2^2$。我们的目标是将这两个样本合并为一个新的样本，其中新样本的方差为 $S_p^2$。
我们可以通过以下公式计算合并样本方差：
$$S_p^2 = \frac$$
其中，$n_1$ 和 $n_2$ 分别是样本 $X_1$ 和 $X_2$ 的大小。
现在，让我们来看看这个公式是如何推导出来的。
首先，我们知道样本方差的计算公式为：
$$S^2 = \frac^n (X_i-\bar)^2}$$
其中，$X_i$ 表示第 $i$ 个观测值，$\bar$ 表示样本的平均值，$n$ 表示样本的大小。
我们可以利用这个公式来计算样本 $X_1$ 和 $X_2$ 的方差：
$$S_1^2 = \frac^ (X_-\bar)^2}$$
$$S_2^2 = \frac^ (X_-\bar)^2}$$
现在，我们想将这两个样本合并为一个新的样本。为了计算新样本的方差，我们需要计算新样本的平均值和方差。我们可以使用以下公式来计算新样本的平均值：
$$\bar_p = \frac$$
其中，$\bar_1$ 和 $\bar_2$ 分别是样本 $X_1$ 和 $X_2$ 的平均值。
现在，我们可以使用以下公式来计算新样本的方差：
$$S_p^2 = \frac^ (X_-\bar_p)^2 + \sum_^ (X_-\bar_p)^2}$$
这个公式的推导基于以下事实：新样本的方差等于每个样本方差的加权平均，其中权重为每个样本的自由度。自由度等于样本大小减去1。
现在，我们可以对这个公式进行简化：
$$S_p^2 = \frac$$
这个公式中的第一项和第二项是用于计算每个样本方差的加权平均的。第三项和第四项是用于调整新样本平均值与每个样本平均值之间的差异的。
最终，我们可以将公式进一步简化，得到最终的合并样本方差公式：
$$S_p^2 = \frac + \frac(\bar_1-\bar_2)^2$$
这个公式中的第一项是样本方差的加权平均。第二项是用于调整新样本平均值与每个样本平均值之间的差异的。我们可以将第二项看作是一个“校正因子”，用于调整新样本方差的估计值。
总之，合并样本方差的计算公式是一个重要的统计工具，可以用来估计总体方差。通过本文的推导过程，我们可以更深入地了解这个公式的背后原理，从而更好地应用它来解决实际问题。