Sn=1²+2²+....+n²， 是用立方来求和的。
记Tn=1+2+...+n=n(n+1)/2
由立方差公式：(n+1)³-n³=3n²+3n+1
代入n=1, 2, ...,n得：
2³-1³=3*1²+3*1+1
3³-2³=3*2²+3*2+1
...
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
以上n个式子相加得：
(n+1)³-1=3Sn+3Tn+n
化简即得：Sn=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料
常见数列求和的方法：
1、公式法：
等差数列求和公式:
Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2
等比数列求和公式：
Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
2、错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 { an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+...+anbn
例如：an=a1+(n-1)d bn=a1·q^(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn
qTn= a1b2+a2b3+a3b4+...+a(n-1)bn+anb(n+1)
Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+...bn[an-a(n-1)]-anb(n+1)
Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+...bn) =a1b1-an·b1·q^n+d·b2[1-q^(n-1)]/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)
3、裂项法
适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式,即an=f(n+1)－f(n),然后累加时抵消中间的许多项。