a,b,c,d 都为正整数。a的五次方等于b的四次方。c的三次方等于d的平方。c-a=19.求d-b？

Question

要具体计算过程。

Answer 1

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a^5 = b^4 推出 a=(b/a)^4 由于a是正整数,所以 可记 x = b/a 是整数.

c^3 = d^2 推出 c=(d/c)^2 由于c是正整数,所以 可记 y = d/c 是整数.

又 c - a = y^2 - x^4 = 19 即: y = √(19+x^4) 其中x,y都是整数.

PS一下: 由关系: y = √(19+x^4) 其中x,y都是整数. 你可以找到答案了吗? 要找出还是累吧??? 不累? 佩服你一眼看出x=3 y=10 啊
那么,我问你,你能确定,是否还有其他答案呢???

************************ 答案关键 *************************
怎么得到答案呢?
对 y^2 = x^4 + 19 ,我们记 z=x^2 , y^2 = z^4 + 19
进一步, 记 X = z^2 , Y = y^2 那么 X,Y 都是平方数了. (你会问有什么用,继续看!!!)

设正数 N 是平方数,那么必然存在正整数 n ,使 N = ∑(2i-1) (i=1,2,3, ... ,n)

什么???等吗?有没搞错??? 不会啦,没错!!!!

因为 n^2 = (2n-1)+[2(n-1)-1]+[2(n-2)-1]+ ... +3+2+1 .
所以我们记: N(n)=(2n-1)+[2(n-1)-1]+[2(n-2)-1]+ ... +3+2+1 .

这样, N(n)-N(n-1)=2n-1 = 19 得到 n=10
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[答案]出来了!!! c=N(n)=n^2=100 , a=N(n-1)=(n-1)^2= 81 .
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这就确定没有其他答案了吗? 当然不了, 继续看!!!

[唯一性简单证明]:

奇数 个 连续奇数之和 等于 处于中心的奇数乘以奇数个数. 可表达为:(记奇数个数:i , i 为奇数)
S(i)=中心奇数*i , 显然是合数了,不是偶数.可19是素数.

而 偶数 个 奇数之和,是偶数. 可19是素数.
所以,答案不用考虑N(n)-N(n-1)以外的情况,如不用考虑N(n)-N(n-5)的情况.
唯一性得证.

************************ 给出答案 *************************
a=81
b=243
可见 a^5 = b^4 即: (3^4)^5 = (3^5)^4

c=100
d=1000
可见 c^3 = d^2

c-a = 100 - 81 = 19

d-b = 1000 -243 =757

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答案就是: d-b = 757
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