2011年数学高考试卷中，江苏省第二十题第二问答案中有n>=8,为什么要以8为界线呢？还有安徽省卷的第十八题

Question

如题所述

Answer 1

原题：设M为部分正整数组成的集合，数列｛an｝的首项a1 = 1，前n项和为Sn，已知对任意整数k属于M，当n＞k时，S(n+k)+S(n-k)=2(Sn+Sk)都成立。
设M =｛3，4｝，求数列｛an｝的通项公式.
网上节选的答案：当k∈ M =｛3,4｝且n＞k时，Sn+k + Sn -k = 2Sn + 2Sk且Sn+1+k + Sn +1-k = 2Sn+1 + 2Sk,，两式相减得an+1+k + an +1 -k = 2an+1，即an+1+k - an+1 = an+1 - an +1 -k .所以当n≥8时，an - 6, an - 3, an, a n+ 3, an+ 6成等差数列，且an - 6, an - 2, an + 2, an + 6也成等差数列.
【【【为何要以8为界线呢？主要是想使得n分别取3和4时成的等差数列有共同的等差项数，不然不直接令K=3，或者K=4呢，干嘛要这样烦呢？正好，当n≥8时，有了共同的项数a（n+6）】】】
先把a(n+1+k) - a(n+1) = a(n+1) - a(n +1 -k)转化为a(n+1+k) +a(n +1 -k)=2a(n+1).
因为k∈ M =｛3,4｝，所以当k=3时，即当n＞k=3时，a(n+4)+a(n-2)=2a(n+1)
当n＞4时，a(n+3)+a(n-3)=2an，当n＞5时，a(n+2)+a(n-4)=2a(n-1）,当n＞6时，a(n+1)+a(n-5)=2a(n-2）,，当n＞7时，an+a(n-6)=2a(n-3),当n＞7时，则an,a(n-3),a(n-6)成等差数列。推出：即n≥8时，a(n+6),a(n+3),an,a(n-3),a(n-6)成等差数列.
所以又当k=4时，即当n＞k=4时，a(n+5)+a(n-3)=2a(n+1)，当n＞5时，a(n+4)+a(n-4)=2an，
当n＞6时，a(n+3)+a(n-5)=2a(n-1)，当n＞7时a(n+2)+a(n-6)=2a(n-2)，当n＞7时，则a(n+2)，a(n-2)，a(n-6)成等差数列.又推出：即n≥8时，a(n+6),a(n+2),a(n-2),a(n-6)成等差数列.
……后面n≥8时，a(n+2)-an=an-a(n-2),当n≥9时，a(n+1)-a(n-1)=a(n-1)-a(n-3)，即a(n+1)+a(n-3)=2a(n-1),即n≥9时，a(n+3),a(n+1),a(n-1),a(n-3)成等差数列.
【这个方法不好，有点像在拼凑，网上还有另外一种解法，如下：】
Sn + 3 + Sn -3 = 2(Sn+ S3), Sn + 4+ Sn -2 = 2(Sn + 1+ S3)an + 4 + an -2 = 2an + 1(n≥4)
数列｛a3n -1｝、｛a3n｝、｛a3n + 1｝(n≥1)都是等差数列
Sn- a1为三个等差数列前若干项之和的和Sn = an2 + bn + c（a、b、c为常数）；
S1 = a1, Sn + 3 + Sn - 3 =2(Sn+ S3), Sn + 4 + Sn - 4=2(Sn+ S4) a + b + c = 1, 3b + c = 0, 4b + c = 0，a = 1, b = c = 0Sn = n2 an = Sn - Sn - 1（S0 = 0）= n2 -（n -1）2 = 2n -1.

Answer 2

由题设知，当k∈ M =｛3,4｝且n＞k时，Sn+k + Sn -k = 2Sn + 2Sk且Sn+1+k + Sn +1-k = 2Sn+1 + 2Sk,，两式相减得an+1+k + an +1 -k = 2an+1，即an+1+k - an+1 = an+1 - an +1 -k .所以当n≥8时，an - 6, an - 3, an, a n+ 3, an+ 6成等差数列，且an - 6, an - 2, an + 2, an + 6也成等差数列.从而当n≥8时，2an = an + 3+ an -3 = an + 6 + an - 6（*），且an + 6 + an - 6 = an + 2 + an -2 .所以当n≥8时，2an = an + 2 + an -2 ，即an + 2 - an = an - an -2 .
于是当n≥9时，an -3, an - 1, an + 1, an + 3成等差数列，从而an + 3 + an -3 = an + 1 + an - 1 .
故由（*）知2an = an+ 1 + an -1，即an+ 1 - an = an - an -1.当n≥9时，设d = an- an -1.
当2≤m≤8时，m + 6≥8,从而由（*）式知2am + 6 = am+ am + 12,
故2 am + 7 = am + 1+ am + 13.从而2（am + 7 - am + 6）= am + 1 -am +（am + 13 - am + 12），于是am + 1 - am = 2d–d = d.因此，an + 1 –an = 2d对任意n≥2都成立.
又由Sn + k + Sn - k -2Sn = 2Sk（k∈｛3,4｝）可知（Sn + k - Sn）-（Sn- Sn -k）= 2Sk ，
故9d = 2 S3且16d = 2S4.解得a4 =d,从而a2 =d，a1 =d.因此，数列｛an｝为等差数列.
由a1 = 1知d = 2，所以数列｛an｝的通项公式为an = 2n -1.

Answer 3

高中数学那个坑爹啊 才高考完的发现大学数学没难度 就是应付考试 高中数学是选拔考试所以题都不简单 另外关于你的提问我实在不想去回想那些恶心的数学题 尤其是20 21 22这样的大题

Answer 4

http://zhidao.baidu.com/question/287360797.html?an=0&si=2

Answer 5

好难，连答案都看不懂