求解最下面那个解释怎么回事 线性代数 特征多项式

Question

λ的零次方和n-1次方为什么能得到那两个系数 ？ 这里系数指什么 ？ （-1）的n-1次方又是怎么来的？ 为什么要特定求0次方和n-1次方系数？

Answer 1

复系数一元多项式根与系数的关系.如果你用的是北京大学的高等代数，书後附录是有这个的.
证明起来不难，是排列组合的思想.(λ1-λ),...,(λn-λ)这n个因式相乘得到关於λ的n次多项式f(λ)：所有的因式都出“λi”，得到的就是λ的0次项，系数为λ1*λ2*...*λn；这n个因式中选(n-1)个出“-λ”，剩下一个出λi，共n种选法，加起来得到λ的(n-1)次项，系数为(-1)^(n-1)*λ1+...+(-1)^(n-1)*λn=(-1)^(n-1)*(λ1+...+λn).
一方面，在多项式f(λ)中，令λ=0，则所有非常数项都为0，则常数项（即λ的0次项）等於f(0)=|A-0E|=|A|；另一方面，λ的0次项系数为λ1*λ2*...*λn，因此|A|=λ1*...*λn.
利用行列式的完全展开，并观察行列式|A-λE|的形状，可以看出f(λ)中λ的(n-1)次项一定来自n个对角元素的乘积（因为含λ的(n-1)次项，所以一定含(n-1)个对角元素的乘积，但这(n-1)个对角元素占据了(n-1)个不同的行和列，所以剩下那一项也一定是对角元素.），这个排列是偶排列，且其中(n-1)项出"-λ"，剩下一项出"aii"，且这种出法总共有n种，所以λ的(n-1)次项的系数为(-1)^(n-1)*a11+...+(-1)^(n-1)*ann=(-1)^(n-1)*(a11+...+ann)；而前面得到λ的(n-1)次项系数为(-1)^(n-1)*(λ1+...+λn)，所以λ1+...+λn=a11+...+ann=tr(A).