高二 数学 空间向量 请详细解答,谢谢! (11 17:13:41)

Question

设A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，7），D（-5，-4，8），求点D到平面ABC的距离？

Answer 1

求点D到平面ABC距离的步骤：
1.求平面ABC的法向量n1；
2.任意在平面ABC中选择一个点（通常是选择端点）例如取A点 求向量DA
3.点到平面公式：d=|向量DA×法向量n1 / 法向量n1的模|

具体解答：
设平面ABC法向量为n1（x1,y1,z1）
向量AB=（2，-2，1）
向量BC=（2，2，5）
AB×n1=0
BC×n1=0
解得平面ABC的法向量n1=（3，2，-2） 此解不唯一 这只是其中一个答案
向量DA=（7，7，-7）
向量DA的模=根号147
利用点到平面距离公式：
d=49√17 /17

北京高三学生

Answer 2

你先求向量AB,BC，然后求其法向量，最后就很容易计算结果了！

Answer 3

可以先求出平面ABC的法向量i=（3，2，-2），任意找一个向量DA（7，7，-7），h=DA*i/|i|=(21+14+14)/(17^0.5),所以答案最终为49/17*(17^0.5)

Answer 4

平面ABC的法向量n∝AB×AC=（-12,-8,8） 法向量n=（3，2，-2)/√17
D到平面ABC的距离l=│AD·n│=49/√17