一道近世代数习题，群的直积方面的，第七题求解，急需啊！

Question

如题所述

Answer 1

设G=Zp+Zp,则G的非零元皆为p阶元。设f∈AutG，a=(1,0),b=(0,1)则G=<a>+<b>,所以G=<f(a)>+<f(b)>。又自同构保持元素的阶不变，所以f(a)和f(b)都是p阶元，显然f(b)不属于<f(a)>，否则G=<f(a)>将导致G是循环群。另一方面，若f(b)不属于<f(a)>,则有<f(a)>∩<f(b)>={0}，即<f(a)>+<f(b)>=H是直和，但H是G的p^2阶子群故H=G，这样我们事实上证明了G=<f(a)>+<f(b)>充要条件是f(a)和f(b)都是p阶元，且f(b)不属于<f(a)>。由于G有p^2-1个p阶元，所以f(a)有p^2-1种取法，f(b)有p^2-p种取法，所以│AutG│=(p^2-1)(p^2-p)追问

哇、不错的、看来只有你回答，就给你了好评了